فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام الرياضيات

أوجد مجموعة حل المعادلة ﺱ^٢ − ٨ﺱ − ٢ = ٩ﺱ + ٨، مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

٠٨:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص اثنين يساوي تسعة ﺱ زائد ثمانية، مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

قبل أن نبدأ في حل معادلة كهذه، علينا أولًا إعادة ترتيبها وكتابتها على الصورة القياسية. والصورة القياسية لهذه المعادلة هي: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ويمكننا تحقيق ذلك بطرح تسعة ﺱ من طرفي المعادلة. فسيصبح لدينا ثمانية ﺱ ناقص تسعة ﺱ يساوي سالب ١٧ﺱ. سنطرح أيضًا ثمانية من كلا الطرفين. فنحصل على سالب اثنين ناقص ثمانية يساوي سالب ١٠. ولأننا طرحنا كلا القيمتين الموجودتين في الطرف الأيسر من المعادلة، أصبح يساوي صفرًا. وبذلك أصبحت المعادلة على الصورة القياسية. ‏ﺃ يساوي واحدًا. ومعامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. وﺏ يساوي سالب ١٧. وﺟ يساوي سالب ١٠. لن نتمكن من تحليل هذه المعادلة. وسأوضح لكم لماذا لا يمكننا تحليل هذه المعادلة هنا.

عند التحليل، نبحث عن قيمتين حاصل ضربهما يساوي سالب ١٠ وحاصل جمعهما يساوي سالب ١٧. ربما تكون هاتان القيمتان موجودتين، ولكنهما ستكونان على شكل كسرين ويصعب جدًّا إيجادهما. ولا يمكننا إيجادهما باستخدام عوامل العدد ١٠، مثل واحد و ١٠ أو اثنين وخمسة. وبما أنه لا يمكننا حل المعادلة بالتحليل، توجد طريقة أخرى يمكن استخدامها وتتمثل في القانون العام. عندما تكون لدينا معادلة على الصورة القياسية، يمكننا استخدام القانون العام في الحل وإيجاد مجموعة حل المعادلة. صيغة القانون العام تبدو هكذا، سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسوم على اثنين ﺃ.

سنعوض الآن بقيم ﺃ، ﺏ، ﺟ التي لدينا. سالب ١٧ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ١٧ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد؛ لأن ﺃ يساوي واحدًا، مضروبًا في سالب ١٠، لأن ﺟ يساوي سالب ١٠، الكل مقسوم على اثنين في واحد. يمكننا تبسيط ذلك قليلًا. وسنحصل على سالب سالب ١٧ يساوي موجب ١٧، زائد أو ناقص الجذر التربيعي، ولسالب ١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. ثم لدينا سالب أربعة في سالب ١٠ في واحد، وهو ما يساوي موجب ٤٠. الكل مقسوم على اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين. يمكننا جمع ٢٨٩ و ٤٠ معًا لنحصل على ٣٢٩. وهذه هي الصورة المبسطة؛ ١٧ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٩ على اثنين.

وهنا سنحتاج إلى استخدام آلة حاسبة للحل. وسيتعين علينا تقسيمها إلى معادلتين. يتعين علينا معرفة ١٧ زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٩ مقسومًا على اثنين. ويتعين علينا أيضًا معرفة ١٧ ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٩ مقسومًا على اثنين. وباستخدام الآلة الحاسبة، الناتج الأول يساوي ١٧٫٥٦٩١٧. والناتج الثاني يساوي سالب ٠٫٥٦٩١٧ وهكذا مع توالي الأرقام.

ونريد تقريب هاتين القيمتين لأقرب ثلاث منازل عشرية. ننظر إلى المنزلة العشرية الثالثة. في كلتا الحالتين، لدينا الرقم تسعة. والرقم الموجود على يمينه مباشرة، أي المنزلة العشرية الرابعة، هو الرقم المحدد للتقريب. فهذا الرقم سيوضح لنا كيفية التقريب. ولأن الرقم المحدد في كلتا الحالتين أقل من خمسة، فإننا سنقرب للقيمة الأقل. ‏ﺱ يساوي ١٧٫٥٦٩، وﺱ يساوي سالب ٠٫٥٦٩. وعندما نكتبهما على صورة مجموعة حل، فسنفتح قوسًا ونكتب ١٧٫٥٦٩ فاصلة سالب ٠٫٥٦٩، ثم نغلق القوس.

دعونا نوضح طريقة أخرى لحل هذه المسألة. ويمكنك الاستعانة بهذه الطريقة إذا لم تستطع تذكر القانون العام. سنحتاج مرة أخرى إلى الصورة القياسية، ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ ناقص ١٠. وبعد ذلك سنستخدم طريقة إكمال المربع. ننقل قيمة ﺟ هذه إلى الطرف الآخر من المعادلة عن طريق إضافتها إلى كلا الطرفين. ومن ثم، يصبح لدينا ﺱ تربيع ناقص ١٧ﺱ يساوي ١٠. ونضيف ﺏ على اثنين تربيع إلى طرفي المعادلة. هذه القيمة الوسطى هي ﺏ. ما ينبغي إضافته هو سالب ١٧ مقسومًا على اثنين تربيع إلى كلا الطرفين. وهكذا أضفنا سالب ١٧ على اثنين تربيع إلى كلا الطرفين. في الطرف الأيمن، لدينا الآن مربع. لدينا ﺱ ناقص ١٧ على اثنين تربيع يساوي ١٠ زائد سالب ١٧ على اثنين تربيع.

هيا نباشر في توزيع هذه القيمة المربعة، وهو ما يعني أن لدينا ١٠ زائد سالب ١٧ تربيع مقسومًا على اثنين تربيع، مقسومًا على أربعة. والآن، إذا أردنا إضافة ١٠ إلى سالب ١٧ تربيع على أربعة، فعلينا كتابة ١٠ في صورة كسر مقسوم على أربعة. ‏١٠ يساوي ٤٠ مقسومًا على أربعة. لدينا الآن ٤٠ زائد سالب ١٧ تربيع. وسالب ١٧ تربيع يساوي ٢٨٩. وهذا كله مقسوم على أربعة. هيا نضع الطرف الأيمن من المعادلة. نأمل أنك بدأت الآن تلاحظ هذا النمط المميز يظهر. ‏٤٠ زائد ٢٨٩ هو ما يقع تحت الجذر في طريقة القانون العام. فهنا نقسم على أربعة. وفي الطريقة الأولى، نقسم على اثنين. لذا، دعونا نتذكر ذلك.

لجعل ﺱ في طرف بمفرده، علينا أن نحسب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ٤٠ زائد ٢٨٩ على أربعة على صورة الجذر التربيعي لـ ٤٠ زائد ٢٨٩ على الجذر التربيعي لأربعة. و ٤٠ زائد ٢٨٩ يساوي ٣٢٩. والجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. نضيف عندئذ ١٧ على اثنين إلى طرفي المعادلة. علينا أن نعرف أن الجذر التربيعي لـ ٣٢٩ يحتوي على حل موجب وحل سالب. كل من ١٧ على اثنين والجذر التربيعي لـ ٣٢٩ على اثنين لهما المقام نفسه وهو اثنان.

وبهذا نحصل على ﺱ يساوي ١٧ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٩ على اثنين. وهذا لأن القانون العام هو تطبيق لإكمال المربع. إذن، كلتا الطريقتين تصلحان لحل المسألة. فبشكل أو بآخر، يمكن النظر إلى القانون العام باعتباره طريقة مختصرة لإكمال المربع. والطريقتان لهما مجموعة الحل نفسها وهي ١٧٫٥٦٩ وسالب ٠٫٥٦٩.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.