فيديو السؤال: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد دﺹ على دﺱ، إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لأربعة ﺱ زائد خمسة أس سبعة.

أول ما علينا فعله عند اشتقاق الدالة هو إعادة كتابة الدالة بطريقة أخرى. ويمكننا فعل ذلك باستخدام أحد قوانين اللوغاريتم. وينص هذا القانون على أنه إذا كان لدينا لوغاريتم ﺱ أس ﻥ للأساس ﺏ، فيمكن إعادة كتابة هذا في صورة ﻥ لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ. إذن عند إعادة كتابة الدالة، نحصل على ﺹ يساوي سبعة اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. فعلنا ذلك باستخدام قانون اللوغاريتم.

والآن إذا أردنا إيجاد دﺹ على دﺱ، فيمكننا القول إن هذا يساوي سبعة مضروبًا في د على دﺱ لـ اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. حسنًا، ما نريد فعله الآن هو اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. وطريقة فعل ذلك هي في الواقع باستخدام قاعدة السلسلة. وتنص قاعدة السلسلة على أن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻉ مضروبًا في دﻉ على دﺱ. ولذا يمكننا تعديل هذا واستخدام ذلك لحل المسألة.

إذا أردنا اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة، فيمكننا القول إن ﻉ يساوي أربعة ﺱ زائد خمسة، وهو التعبير الفعلي داخل القوسين، وﺹ سيساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. أولًا، ما سنفعله الآن هو اشتقاق ﻉ. إذن لدينا دﻉ على دﺱ، وهو ما يعطينا أربعة؛ لأننا إذا اشتققنا أربعة ﺱ، فسنحصل على أربعة. وإذا اشتققنا موجب خمسة، فسنحصل على صفر. رائع! ‏دﻉ على دﺱ يساوي أربعة.

وبذلك سنوجد دﺹ على دﻉ. ولكي نفعل ذلك سنشتق اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. سنحصل على واحد على ﻉ. وحصلنا على ذلك لأنه توجد صورة عامة تخبرنا أنه إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ.

حسنًا، هذا رائع! وبذلك نكون قد اشتققنا كلا الطرفين. يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لوضعها معًا. إذن سنحصل على تفاضل اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة يساوي أربعة؛ لأن ذلك كان دﻉ على دﺱ مضروبًا في واحد على ﻉ، وهو دﺹ على دﻉ. إذن نعوض الآن بقيمة ﻉ، ما يعطينا أربعة على أربعة ﺱ زائد خمسة.

حسنًا، هذا رائع! وبذلك، نكون قد اشتققنا اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. ليس أمامنا سوى خطوة أخرى لإيجاد دﺹ على دﺱ النهائية. وبذلك سنحصل على دﺹ على دﺱ يساوي سبعة مضروبًا في أربعة على أربعة ﺱ زائد خمسة. وذلك، كما ذكرنا من قبل، لأننا اشتققنا اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. إذن، يمكننا القول إنه إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة أس سبعة، فإن دﺹ على دﺱ يساوي ٢٨ على أربعة ﺱ زائد خمسة.

جدير بالذكر هنا أنه كان بإمكاننا استخدام الصيغة لمساعدتنا على اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة. وكان من الممكن أن يكون الأمر كذلك، إذا كان على الصورة ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ د ﺱ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي مشتقة د ﺱ على د ﺱ. لكن، أردت أن أوضح كيف تستخدم قاعدة السلسلة للوصول إلى هذه النتيجة. ويمكننا التحقق من ذلك باستخدام هذه الطريقة؛ لأننا إذا أمعنا النظر، فسنلاحظ أن الدالة، أي د ﺱ، كانت بالفعل أربعة ﺱ زائد خمسة.

ومن ثم إذا اشتققنا ذلك، فسنحصل على أربعة. إذن كان ذلك سيكون البسط. وفي المقام كانت ستكون الدالة نفسها، وهي أربعة ﺱ زائد خمسة. وكما نرى في الخطوة السابقة، قبل الإجابة النهائية مباشرة، كانت هذه في الواقع هي القيمة التي أوجدناها عندما اشتققنا اللوغاريتم الطبيعي لـ أربعة ﺱ زائد خمسة باستخدام قاعدة السلسلة.