نسخة الفيديو النصية
أوجد جبريًّا مجموعة حل المعادلة القيمة المطلقة أو المقياس لـ ﺱ زائد أربعة يساوي ﺱ زائد أربعة.
في هذه المسألة، لدينا حالتان مختلفتان علينا تناولهما. والسبب في وجود حالتين مختلفتين هو أن لدينا القيمة المطلقة أو المقياس لـ ﺱ زائد أربعة. لذا، فإننا نبحث عن القيم الموجبة لـ ﺱ زائد أربعة. لنفترض أولًا أن ﺱ زائد أربعة أكبر من أو يساوي صفرًا. نلاحظ أن هذه القيمة ستكون موجبة بالفعل؛ لذا لا يوجد ما يتوجب علينا فعله. لكن إذا كان ﺱ زائد أربعة أقل من صفر، فعلينا إيجاد سالب هذه القيمة لجعل الناتج موجبًا. وهذا ما تفعله دالة القيمة المطلقة.
إذا حللنا المتباينتين، فسيصبح لدينا في الجانب الأيمن ﺱ أكبر من أو يساوي سالب أربعة. وقد حصلنا على ذلك بطرح أربعة من كلا الطرفين. وفي الجانب الأيسر، يصبح لدينا ﺱ أقل من سالب أربعة. إذن يمكننا القول إنه إذا كانت قيمة ﺱ أقل من سالب أربعة، فإننا سنتعامل مع الجانب الأيسر. لكن إذا كانت أكبر من سالب أربعة، فإننا سنتعامل مع الجانب الأيمن. ومن ثم، إذا كنا سنتعامل مع الجانب الأيمن، فإننا نعلم أن قيمة ﺱ زائد أربعة ستكون موجبة. ولا داعي للقلق، فيمكننا كتابة ﺱ زائد أربعة يساوي ﺱ زائد أربعة. إذن يمكننا القول إن ﺱ زائد أربعة في الطرف الأيمن يساوي ﺱ زائد أربعة في الطرف الأيسر.
قد نفكر هنا أن هذا ينطبق على جميع قيم ﺱ بوضوح. لكن، علينا تذكر مدى قيم ﺱ التي حددناها. هذا يعني أن ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب أربعة. ومن ثم، نعلم أنه لتحقيق هذه المعادلة، يمكننا القول إن ﺱ يمثل جميع قيم ﺱ الأكبر من أو يساوي سالب أربعة. بالانتقال إلى الجانب الأيسر، نعلم أن ﺱ أقل من سالب أربعة، كما نعلم أيضًا أن ﺱ زائد أربعة يساوي قيمة سالبة.
إذن علينا إيجاد سالب هذه القيمة السالبة لتحويل الناتج إلى قيمة موجبة. لذا، علينا حل المعادلة سالب ﺱ زائد أربعة يساوي ﺱ زائد أربعة. وعليه، نحصل على سالب ﺱ ناقص أربعة يساوي ﺱ زائد أربعة. إذا أضفنا ﺱ إلى طرفي المعادلة، فسنحصل على سالب أربعة يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة. وإذا طرحنا أربعة، فسنحصل على سالب ثمانية يساوي اثنين ﺱ. بعد ذلك، إذا قسمنا كلا الطرفين على اثنين، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب أربعة.
حسنًا، قد نعتقد أن الإجابة ﺱ يساوي سالب أربعة لن تكون صحيحة تمامًا؛ لأننا إذا نظرنا إلى الجانب الأيسر، فسنجد أن ﺱ يجب أن يكون أقل من سالب أربعة. لكن في الواقع، إذا كان لدينا سالب أربعة، فلن تكون القيمة موجبة، وستكون القيمة صفرًا. وعلى أي حال، لقد تناولنا بالفعل هذا الحل في المتباينة ﺱ أكبر من أو يساوي سالب أربعة.
إذن يمكننا القول إن الحل هو ﺱ أكبر من أو يساوي سالب أربعة. يمكننا كتابة ذلك أيضًا باستخدام ترميز الفترة. وإذا فعلنا ذلك، فستصبح لدينا الفترة المغلقة من اليمين سالب أربعة فاصلة ∞، وهي الفترة المفتوحة من اليسار. نستنتج من ذلك أن سالب أربعة يمكن أن يكون جزءًا من مجموعة الحل، في حين أن ∞ ليست كذلك.
