تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقارن ونرتب الأعداد النسبية بصورها المختلفة لحل المسائل الحياتية.

١٧:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقارن ونرتب الأعداد النسبية بصورها المختلفة لحل المسائل الحياتية. إذا افترضنا أن هذا المربع يحتوي على جميع الأعداد، فيمكننا تقسيمها إلى فئتين: أعداد نسبية وأعداد غير نسبية. يمكن كتابة الأعداد النسبية في صورة كسر، ولا يمكن كتابة الأعداد غير النسبية في صورة كسر. الأعداد الصحيحة قيم نسبية. على سبيل المثال، سالب ثلاثة عدد صحيح. إذا أردنا أن نكتب سالب ثلاثة في صورة كسر، فيمكننا كتابته في صورة سالب ثلاثة على واحد، وذلك يجعله عددًا نسبيًّا. كما أن القيم العشرية المنتهية قيم نسبية. على سبيل المثال، 0.25 في صورة كسر يساوي ربعًا.

لا يمكن كتابة الأعداد غير النسبية في صورة كسر. وأحد الأمثلة على ذلك هو ‪𝜋‬‏، أو الجذر التربيعي لاثنين. لكننا لن نتناول أي أعداد غير نسبية في هذا الفيديو. ذكرنا الآن أن الأعداد النسبية قيم يمكن التعبير عنها في صورة كسر. لذا ربما علينا أن نذكر أنفسنا بتعريف الكسر.

الكسر يقارن الجزء بالكل. في الكسر، المقام هو القيمة الموجودة أسفل شرطة الكسر، ويوضح لنا عدد الأجزاء المتساوية في الكل. والبسط هو القيمة الموجودة أعلى شرطة الكسر، ويوضح لنا عدد الأجزاء التي تعنينا.

عادة ما نمثل الكسور باستخدام مخطط يأخذ شكل دائرة أو مستطيل. عدد الأجزاء التي يقسم الشكل إليها يمثل المقام. نلاحظ هنا أن المستطيل مقسم إلى خمسة أجزاء متساوية، وهو ما يجعل المقام يساوي خمسة. عادة ما يكون الجزء الذي يعنينا مظللًا. بما أن اثنين من الأجزاء الخمسة مظللان، فيمكننا القول إن هذا الكسر يساوي خمسين.

فيما يأتي مثال على مخطط الكسر الدائري. المقام أربعة، وهو ما يمثل عدد الأجزاء المتساوية في الدائرة. والبسط ثلاثة؛ وذلك لوجود ثلاثة أجزاء مظللة. إذن هذا الكسر هو ثلاثة أرباع.

لكن ماذا لو كان هذا المخطط يبدو بهذا الشكل، الذي يمثل اللون المفضل لأحدهم مثلًا؛ بحيث تلون أجزاؤه باللونين الأزرق والأصفر؟ كما فعلنا من قبل، فاللون الأزرق يمثل ثلاثة أرباع، وهذا يعني أن اللون الأصفر يمثل ربعًا. من الواضح للغاية هنا أن ثلاثة أرباع أكبر من ربع. ويعني هذا أن ترتيب الكسور التي لها المقام نفسه أمر سهل جدًّا.

لمقارنة خمسة أثمان وثمن وثلاثة أثمان، نرتب هذه القيم عن طريق النظر إلى البسط. خمسة هو البسط الأكبر. إذن من بين هذه الكسور الثلاثة، خمسة أثمان هو الكسر الأكبر. ثلاثة هو ثاني أكبر بسط، وهذا يجعل ثلاثة أثمان ثاني أكبر كسر في هذه المجموعة.

لكن علينا أن نفكر فيما يحدث عندما يكون المقامان غير متساويين. تكون المقارنة بين الكسور ذات المقامات المختلفة بهذا الشكل.

لدى شريف تسع عملات معدنية، ولدى شريف ثلاث عملات ورقية. إذا قلنا إن «تسعة أكبر من ثلاثة؛ إذن دانيال لديه أكبر قدر من المال»، فستكون مقارنتنا خطأ بسبب الوحدات. إذ لا يمكننا مقارنة عدد العملات المعدنية بعدد العملات الورقية. لذا علينا إما تحويل عملات شريف المعدنية إلى عملات ورقية، وإما تحويل المبلغ الذي بحوزة شريف إلى عملات معدنية.

عندما نتعامل مع كسرين ليس لهما المقام نفسه، علينا أن نفعل الشيء نفسه. أي علينا تحويلهما إلى قيمة يمكننا مقارنتها. لنتناول مثالًا حيث علينا تطبيق ذلك.

قارن بين نصف وثمنين.

هاتان القيمتان ليس لهما مقام مشترك، وهذا يعني أن علينا إيجاد مقام مشترك للمقارنة بينهما. كلتا القيمتين عدد زوجي. في الواقع، العدد اثنان أحد عوامل العدد ثمانية. لأننا إذا ضربنا اثنين في أربعة، فسنحصل على ثمانية. لكن عند التعامل مع الكسور، من المهم للغاية تذكر أنه إذا ضربنا المقام في قيمة ما، فإننا نضرب البسط في القيمة نفسها. واحد في أربعة يساوي أربعة. يخبرنا هذا أن أربعة أثمان كسر مكافئ لنصف.

الآن، بما أن القيمتين لهما مقام مشترك، فسنقارن بين بسطيهما. أربعة أكبر من اثنين. إذن، أربعة أثمان أكبر من ثمنين، وهو ما يعني أن النصف أكبر من ثمنين. وهذه طريقة إيجاد المقام المشترك.

لكن كان بإمكاننا حل هذه المسألة بطريقة أخرى. كان بإمكاننا تحويل هذه الكسور إلى أعداد عشرية. نصف، مكتوبًا في صورة عدد عشري، يساوي 0.5. نلاحظ أن البسط والمقام يقبلان القسمة على اثنين. إذن يمكننا القول إن ثمنين يساويان ربعًا، وربع، مكتوبًا في صورة عدد عشري، يساوي 0.25. إذا قارنا بين القيمتين العشريتين، فسنجد أن 0.5 أكبر من 0.25؛ لأن 0.5 يتضمن خمسة في خانة الأجزاء من عشرة، و0.25 يتضمن اثنين في خانة الأجزاء من عشرة. هذا يؤكد ما ذكرناه بالفعل، وهو أن نصف أكبر من ثمنين.

لننتقل الآن إلى مثال نقارن فيه بين أكثر من قيمتين.

رتب واحدًا على 12، وواحدًا على 10، وثلثًا، وواحدًا على 20 ترتيبًا تصاعديًّا.

أولًا، علينا معرفة معنى الترتيب التصاعدي. هو يعني الترتيب من الأصغر إلى الأكبر. نلاحظ هنا عدم وجود مقام مشترك. لكن البسط في كل من القيم الأربع يساوي واحدًا. يمكننا بالطبع إيجاد مقام مشترك أو تحويل جميع القيم إلى أعداد عشرية. لكن بما أن جميع القيم الأربع لها البسط نفسه، يمكننا ترتيبها بطريقة مختلفة.

لنفترض أننا سنمثل هذه الكسور باستخدام مخطط دائري. ستبدو الدائرة مقسمة إلى ثلاثة أثلاث بهذا الشكل. وهذه الدائرة نفسها مقسمة إلى 12 قطعة. نلاحظ أن مخطط الكسر ذي المقام الأكبر يقسم إلى أجزاء أصغر. في حين أن القطعة التي تمثل الثلث أكبر بكثير من القطعة التي تمثل واحدًا على 12. ومن ثم يمكننا القول إنه عندما تكون حدود البسط متساوية، فإن الكسر ذا المقام الأكبر سيصبح الكسر الأول عند الترتيب من الأصغر إلى الأكبر. في هذه الحالة، سنبدأ بواحد على 20 باعتباره أصغر قيمة. ثم ننتقل إلى واحد على 12 متبوعًا بعشر ثم ثلث. يمكننا إجراء هذا النوع من المقارنات؛ لأن حدود البسط متساوية.

يمكننا التفكير في الأمر باعتبار أنه كلما قسمت البيتزا إلى قطع أكثر، أصبحت القطع أصغر. إذن إذا أكلت قطعة واحدة من بيتزا مقسمة إلى ثلاث قطع فقط، فستكون هذه القطعة أكبر من تلك التي ستأكلها من البيتزا نفسها إذا قسمت إلى 10 قطع. بترتيب الكسور تصاعديًّا في هذا السؤال، نحصل على واحد على 20، ثم واحد على 12، ثم واحد على 10، ثم ثلث.

لنتناول مثالًا آخر على ترتيب الأعداد النسبية. لكن هذه المرة، لا توجد أي قيمة معطاة في صورة كسر.

رتب التالي ترتيبًا تصاعديًّا: 0.2، سالب 0.2، سالب 2.3، تسعة، اثنان.

نحن نعلم أن الترتيب التصاعدي يعني الترتيب من الأصغر إلى الأكبر. قد يكون من المفيد هنا أن نفكر في هذه القيم بدلالة خط الأعداد. نحن نعلم أن جميع القيم الموجبة موجودة على يمين الصفر، وجميع القيم السالبة موجودة على يسار الصفر. عندما نتعامل مع القيم السالبة، وهي القيم على يسار الصفر، نلاحظ أنها كلما كبرت، ابتعدت أكثر عن الصفر. إذن سالب 2.3 أبعد عن الصفر مقارنة بسالب 0.2. لذا يمكننا القول إن سالب 2.3 هو القيمة الأقل.

تليها بعد ذلك القيمة سالب 0.2. ومن هنا، علينا المقارنة بين القيم الموجبة. القيمة العشرية هي القيمة الوحيدة الأقل من واحد. لذا ستكون القيمة التالية في الترتيب. ونعلم أن اثنين أصغر من تسعة. لذا سنكتب اثنين ثم تسعة. بترتيب هذه القيم تصاعديًّا، نحصل على سالب 2.3، سالب 0.2، 0.2، اثنين، تسعة.

لنتناول مثالًا يتضمن أعدادًا كسرية وقيمًا عشرية.

رتب مجموعة الأعداد الآتية ترتيبًا تصاعديًّا: سالب ثلاثة وثلاثة أعشار، سالب 3.61، سالب 3.5.

الترتيب التصاعدي هو الترتيب من الأصغر إلى الأكبر، ولدينا ثلاث قيم. جميع القيم الثلاث سالبة. اثنتان من هذه القيم عددان عشريان، والثالثة عدد كسري. لدينا خياران. يمكننا تحويل العدد الكسري إلى عدد عشري، أو يمكننا تحويل العددين العشريين إلى عددين كسريين. بما أن اثنتين من هذه القيم مكتوبتان بالفعل على الصورة العشرية، دعونا نحول هذا العدد الكسري إلى عدد عشري.

نحن نعلم أن سالب ثلاثة سيظل الجزء الذي يمثل العدد الكلي. لكن كيف نحول ثلاثة أعشار إلى عدد عشري؟ بما أن هذا الكسر جزء من 10، فهذه عملية بسيطة للغاية. نضع ثلاثة في خانة الأجزاء من عشرة ليصبح لدينا سالب 3.3. في هذه المرحلة، علينا الانتباه جيدًا لأننا نرتب قيمًا سالبة. عندما نرتب قيمًا سالبة، القيمة الأقل ستكون هي الأبعد عن الصفر. ونحن نعلم أن المسافة من الصفر تمثل القيمة المطلقة للعدد.

هذا يعني أن سالب 3.61 يبعد 3.61 وحدات عن الصفر إلى اليسار. ويعني أيضًا أن سالب 3.5 يبعد 3.5 وحدات عن الصفر إلى اليسار. سالب 3.5 أقرب إلى الصفر من سالب 3.61، وسالب 3.3 هو الأقرب إلى الصفر من بين القيم الثلاث. وهذا يعني أنه لكي نرتب هذه القيم من الأصغر إلى الأكبر، سنكتب سالب 3.61، ثم سالب 3.5، ثم سالب 3.3. لكن بالنسبة إلى الإجابة النهائية، من الأفضل أن نضع سالب 3.3 في الصورة المعطاة في السؤال‪:‬‏ أي سالب ثلاثة وثلاثة أعشار.

لنتناول مثالًا يتضمن قيمًا موجبة وسالبة وأعدادًا كسرية وكسورًا.

رتب العناصر في المجموعة واحد وثلثين، سالب ثمن، واحد وتسع، وسالب نصف ترتيبًا تنازليًّا.

الترتيب التنازلي هو الترتيب من الأكبر إلى الأصغر. ونلاحظ أن جميع هذه القيم ليس لها مقام مشترك. لكن إذا فكرنا فيها بدلالة خط الأعداد، فإننا نعلم أن سالب نصف يجب أن ينتقل إلى يسار الصفر، وواحدًا وثلثين يجب أن ينتقل إلى يمين الصفر. في هذه المرحلة، علينا المقارنة بين سالب نصف وسالب ثمن، وواحد وتسع وواحد وثلثين.

بداية بالأعداد السالبة، لدينا سالب نصف وسالب ثمن. إذا ضربنا البسط والمقام في أربعة، فسنجد أن سالب نصف يصبح سالب أربعة على ثمانية. لأن هاتين القيمتين سالبتان، علينا أن ننتبه جيدًا إلى كيفية المقارنة بينهما. سالب ثمن أقرب إلى الصفر من سالب أربعة أثمان على خط الأعداد. إذن يوضع كل منهما على خط الأعداد على هذا النحو. في حالة الترتيب التنازلي؛ أي من الأكبر إلى الأصغر، يوضع سالب ثمن قبل سالب نصف داخل المجموعة.

الآن علينا المقارنة بين القيمتين الموجبتين. واحد وتسع وواحد وثلثان كلاهما يتضمن العدد الكلي واحدًا. وهذا يعني أنه للمقارنة بينهما، علينا ببساطة المقارنة بين كسريهما. هذان الكسران ليس لهما مقام مشترك. لكن إذا ضربنا بسط العدد ثلثين ومقامه في ثلاثة، نجد أن هذا العدد الكسري يساوي واحدًا وستة أتساع. واحد وستة أتساع أكبر من واحد وتسع. من ثم يمكننا وضعهما على خط الأعداد على هذا النحو. الآن نحن جاهزون لكتابة الأعداد بترتيب تنازلي.

الترتيب التنازلي هو الترتيب من الأكبر إلى الأصغر. ونريد كتابته مرة أخرى باستخدام ترميز المجموعة، لذا سنفتح القوس المعقوف. أكبر قيمة من بين هذه القيم هي واحد وثلثان، ثم تليها القيمة واحد وتسع، ثم سالب ثمن، ثم سالب نصف. ونغلق القوس المعقوف. هكذا نكون قد أعدنا ترتيب هذه المجموعة المعطاة ترتيبًا تنازليًّا.

قبل أن نختم الفيديو، دعونا نراجع النقاط الأساسية التي نحتاج إليها لمقارنة الأعداد النسبية وترتيبها. الأعداد النسبية أعداد حقيقية يمكن التعبير عنها في صورة كسور بسيطة، وهذا يعني أن المقام والبسط عددان صحيحان. إحدى طرق مقارنة الكسور توحيد مقاماتها. ثمة طريقة أخرى، هي تحويل جميع القيم إلى أعداد عشرية. الآن أنت مستعد لحل بعض المسائل بنفسك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.