تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الدوال الدائرية والدوال الدورية

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو تعريف الدوال الدورية، والدوال الدائرية، ويوضِّح رسمًا للقيم الدقيقة لكلٍّ من الجيب وجيب التمام لبعض الزوايا الخاصة على دائرة الوحدة.

٠٧:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الدوال الدائرية والدوال الدورية. إيه الفرق ما بينهم، وإزّاي هنجيب قيمهم وهنمثّلهم بيانيًّا.

الدوال الدائرية والدوال الدورية. الدوال الدائرية: إذا كانت النقطة أ نقطة على دايرة الوحدة، وتمثّل تقاطع ضلع النهائي للزاوية 𝜃 مع دايرة الوحدة؛ فإن كلًّا من س تساوي جتا 𝜃 والـ ص تساوي جا 𝜃 دالة بالنسبة لـ 𝜃، وتسمى كل منهما دالة دائرية. لأنها بتعتمد على دايرة الوحدة.

الدوال الدورية دي بيكون شكل الدالة، وقيمتها على محور الصادات عبارة عن تكرار لنمط على فترات منتظمة متتالية. وبيسمى النمط الواحد الكامل دورة. وتُسمى المسافة الأفقية في الدورة طول الدورة.

زي ما إحنا شايفين في الرسم. الرسمة الأولانية دي دالة دائرية. النقطة هنا أ دي بتمثّل تقاطُعها مع دائرة الوحدة. يبقى القيمة بتاعتها كانت جتا 𝜃 وَ جا 𝜃. الـ س بتمثّل جتا 𝜃 والـ ص تمثّل الـ جا 𝜃.

في الرسمة التانية هنا دالَّة بتكرّر نفسها كل تلتمية وستين درجة، دي بنسمّيها دالة دورية. بتتكرر دورة كل من دالة الجيب وجيب التمام كل تلتمية وستين درجة. إذن همَا دالتان دوريتان، وطول دورة كل منهما تلتمية وستين درجة أو اتنين 𝜋.

عندنا قيم دقيقة لدالة الجيب وجيب التمام على دايرة الوحدة اللي هنشوفها في الشكل ده. الشكل اللي قدامنا ده بيمثّل القيم الدقيقة لكلٍّ من جا 𝜃 وَ جتا 𝜃 لبعض الزوايا الخاصة على دايرة الوحدة. الدوال الخاصة اللي عندنا اللي هي الصفر، والتلاتين، والخمسة وأربعين، والستين، والتسعين، مية وعشرين، مية خمسة وتلاتين، مية وخمسين، مية وتمانين، ميتين وعشرة، ميتين خمسة وعشرين، ميتين وأربعين. اللي هي بتبقى مضاعفات الصفر، والتلاتين، والخمسة وأربعين، والستين، والتسعين، في كل ربع من أرباع دايرة الوحدة.

القيمة اللي برّه دي بتمثّل قيمة النقطة اللي بتتقاطع مع الزاوية 𝜃 على دايرة الوحدة. الجذر تلاتة عَ الاتنين دي بتمثّل جتا الزاوية 𝜋 على ستة بالقياس الدائري، اللي هي تلاتين درجة بقياس الدرجات. والنُّص بتمثّل جا الزاوية 𝜋 على 𝜃 أو جا الزاوية تلاتين درجة.

هنا رسمنا السينات والصادات اللي هي جتا 𝜃 وَ جا 𝜃، وبنعرف منهم قِيَم الزوايا. ممكن نرسم رسم بياني تاني فيه قيم الزاوية وعلاقتها بالسينات، أو قيم الزاوية وعلاقتها بالصادات.

نقلب الصفحة ونشوف إزّاي.

إذا كانت النقاط المبيَّنة في الشكل تمثّل نقاط تقاطع الضلع النهائي للزوايا 𝜃 تساوي خمسة وأربعين درجة، 𝜃 تساوي مية وخمسين درجة، وَ 𝜃 تساوي ميتين وسبعين درجة. يعني جذر اتنين عَ الاتنين، وجذر اتنين عَ الاتنين، دي بتمثّل السينات والصادات للزاوية خمسة وأربعين درجة. اللي زي ما قلنا إن دي بتمثّل جتا الزاوية اللي هي 𝜃 خمسة وأربعين. وهنا دي بتمثّل جا الخمسة وأربعين. نفس الكلام للزوايا التانية.

زي ما إحنا شايفين جتا المية وخمسين درجة، وَ جا المية وخمسين درجة، هتساوي سالب جذر تلاتة عَ الاتنين ونص. جتا الميتين وسبعين درجة، وَ جا الميتين وسبعين درجة، هتساوي الصفر والسالب واحد.

لو حبينا نرسم علاقة الزاوية مع السينات بس، أو علاقة الزاوية مع الصادات بس. هيبقى زي ما إحنا شايفين الرسم الأولاني هيمثّل جتا الزوايا. والرسم التاني هيمثّل جا الزوايا. قيمة النقطة هتتمثّل بالارتفاع على محور الصادات. والمحور الأفقي هيمثّل الزوايا اللي عندنا اللي هي خمسة وأربعين، تسعين، مية خمسة وتلاتين، مية وتمانين. ده اللي هو التدريج بالدرجات.

ممكن التدريج يبقى بالقياس الدائري؛ يعني الخمسة وأربعين تتمثل بالـ 𝜋 على أربعة. التسعين بالـ 𝜋 عَ الاتنين. وهكذا ممكن بدل ما نكتب بالدرجات ممكن نكتبها بالقياس الدائري. يبقى كده عرفنا إزّاي هنرسم القيم باستخدام دايرة الوحدة، وإزّاي هنرسمها بالرسم البياني.

نقلب الصفحة وناخد معلومة كمان مهمة، هتساعدنا في إن إحنا نحسب القيم الدقيقة للدوال المثلثية.

بما إن طول الدورة لدالة الجيب ودالة جيب التمام، هو تلتمية وستين درجة. وإحنا عارفين إن دالة الجيب ودالة جيب التمام دالة بتكرّر نفسها كل تلتمية وستين درجة بتدي نفس القيم. يبقى جتا 𝜃 زائد تلتمية وستين درجة، هي نفسها قيمة الـ جتا 𝜃. والـ جا 𝜃 زائد تلتمية وستين درجة هي نفسها الـ جا 𝜃.

ناخد مثال على الكلام ده: اوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية مما يأتي: جتا ربعمية وتمانين درجة، وَ جا حداشر 𝜋 عَ الأربعة.

الربعمية وتمانين درجة أكبر من التلتمية وستين درجة. يبقى جتا الربعمية وتمانين، هتساوي جتا، تلتمية وستين درجة زائد زاوية مية وعشرين درجة. يبقى الـ جتا ربعمية وتمانين درجة هي نفسها جتا المية وعشرين درجة. نجيب قيمة جتا المية وعشرين درجة من رسم دايرة الوحدة. هنلاقي إن عند مية وعشرين درجة، الـ جتا بتاعتها هتساوي قيمة الصادات للنقطة، اللي هي تساوي سالب نص.

نحل الجزء التاني من السؤال. جا حداشر 𝜋 على أربعة. يعني جا … حداشر 𝜋 على الأربعة أكبر مِ الاتنين 𝜋. يبقى جا اتنين 𝜋 زائد قيمة باقي الزاوية اللي هي تلاتة 𝜋 على أربعة. يبقى هتساوي جا تلاتة 𝜋 على أربعة. هنشوف قيمتها من الرسم بتاع دايرة الوحدة. هنشوف زاوية التلاتة 𝜋 عَ الأربعة هنلاقيها هنا. الـ جا بتمثّل قيمة الصادات اللي هي هتساوي جذر اتنين على الاتنين، وبقيمة موجبة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن الدوال الدائرية والدوال الدورية؛ إيه الفرق ما بينهم، إزّاي هنجيب قيمتهم، وإزّاي هنرسمهم على دايرة الوحدة أو هنمثّلهم بيانيًّا.