فيديو السؤال: حل معادلات تتضمن مرافقات الأعداد المركبة الرياضيات

أوجد حل ﻉﻉ^(∗) + ﻉ^(∗) − ﻉ = ٤ + ٢ﺕ.

٠٥:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حل ﻉﻉ بار زائد ﻉ بار ناقص ﻉ يساوي أربعة زائد اثنين ﺕ.

حسنًا، دعونا نفكر فيما لدينا في هذا السؤال. يشير كل من ﻉ وﻉ بار إلى عددين مركبين. تذكر أن العدد المركب ﻉ يكتب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ. وﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان. يمثل ﺃ الجزء الحقيقي من العدد المركب، ويمثل ﺏ الجزء التخيلي منه. وﻉ بار هو مرافق هذا العدد المركب. ونمثله أحيانًا باستخدام الرمز ستار. والآن، لإيجاد مرافق العدد المركب، كل ما علينا فعله هو تغيير إشارة الجزء التخيلي من العدد المركب. من ثم، إذا كان ﻉ؛ أي العدد المركب لدينا، يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن ﻉ بار يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ.

هناك بعض الخصائص المثيرة للاهتمام في العدد المركب ومرافقه. فعندما نوجد حاصل ضربهما، نحصل على عدد حقيقي بحت. دعونا إذن نعوض عن ﻉ بـ ﺃ زائد ﺏﺕ، وعن ﻉ بار بـ ﺃ ناقص ﺏﺕ في المعادلة المركبة هنا. وبناء على ذلك، نجد أن ﻉﻉ بار يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ في ﺃ ناقص ﺏﺕ. ثم نضيف ﺃ ناقص ﺏﺕ ونطرح ﻉ الذي يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. وبالطبع كل هذا يساوي أربعة زائد اثنين ﺕ.

هيا نفك هذه الأقواس بالتوزيع. سنبدأ بضرب الحد الأول في كل من هذين التعبيرين. ‏ﺃ في ﺃ يساوي ﺃ تربيع. ثم نضرب الحد الخارجي في كل من التعبيرين. وهذا يعطينا سالب ﺃﺏﺕ. بعد ذلك، نضرب الحدين الداخليين، فنحصل على ﺃﺏﺕ. وأخيرًا: نضرب الحدين الأخيرين. هذا يعطينا سالب ﺏﺕ الكل تربيع أو سالب ﺏ تربيع ﺕ تربيع زائد ﺃ ناقص ﺏﺕ الذي يظل كما هو. ثم نطرح ذلك الحد الثالث، الذي يساوي التعبير الثالث ﺃ زائد ﺏﺕ. وبذلك نحصل على سالب ﺃ ناقص ﺏﺕ.

لنر إن كان يمكننا تبسيط هذا قليلًا. نلاحظ أن ﺃ ناقص ﺃ يساوي صفرًا. لذا نحذفهما معًا. وبالمثل سالب ﺃﺏﺕ زائد ﺃﺏﺕ يساوي صفرًا. نتذكر أيضًا أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. يمكننا استخدام ذلك هنا. وسنكتب سالب ﺏ تربيع ﺕ تربيع على صورة سالب سالب واحد ﺏ تربيع. ومرة أخرى، يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. ونحصل على سالب اثنين ﺏﺕ. بالتبسيط أكثر، نجد أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع ناقص اثنين ﺏﺕ يساوي أربعة زائد اثنين ﺕ.

الآن هذا الجزء مهم جدًّا. ببساطة، لدينا هنا عددان مركبان. في الطرف الأيمن من المعادلة، الجزء الحقيقي من العدد المركب يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، والجزء التخيلي منه؛ أي معامل ﺕ، يساوي سالب اثنين ﺏ. وفي الطرف الأيسر، الجزء الحقيقي من العدد المركب يساوي أربعة. والجزء التخيلي منه يساوي اثنين. لكي يتساوى العددان المركبان في طرفي المعادلة، يجب أن يتساوى جزآهما الحقيقيان. وكذلك يتساوى جزآهما التخيليان، كل على حدة. وذلك يعني أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يجب أن يساوي أربعة. وسالب اثنين ﺏ يجب أن يساوي اثنين.

حسنًا، يمكننا حل هذه المعادلة الثانية. سنقسم الطرفين على سالب اثنين. وبذلك نجد أن ﺏ يساوي سالب واحد. دعونا نعوض بهذه القيمة في المعادلة الأولى. ومن ثم، نجد أن ﺃ تربيع زائد سالب واحد تربيع يساوي أربعة. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا.

سنطرح واحدًا من طرفي هذه المعادلة، ونجد أن ﺃ تربيع يساوي ثلاثة. ثم نحسب الجذر التربيعي للطرفين، مع العلم أننا سنحتاج إلى أخذ كل من موجب وسالب الجذر التربيعي لثلاثة. ونجد أن ﺃ يساوي موجب أو سالب جذر ثلاثة. وبالرجوع إلى المعادلة الأصلية، نتذكر أن ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ. وعليه ﺃ يساوي موجب أو سالب جذر ثلاثة. وﺏ يساوي سالب واحد.

إذن حلا المعادلة هما ﻉ يساوي جذر ثلاثة ناقص ﺕ، وﻉ يساوي سالب جذر ثلاثة ناقص ﺕ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.