فيديو السؤال: إيجاد طول قطعة مستقيمة باستخدام خواص أوتار الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

النقطتان ‪𝑋‬‏، ‪𝑌‬‏ نقطتا منتصف القطعتين المستقيمتين ‪𝐴𝐵‬‏، ‪𝐶𝐷‬‏ على الترتيب، وتقع النقطة ‪𝑀‬‏ عند مركز الدائرة. إذا كان ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪60‬‏، فما طول ‪𝐶𝑌‬‏؟

يمكننا البدء بملاحظة أن السؤال يخبرنا أن ‪𝑋‬‏ و‪𝑌‬‏ نقطتا منتصف القطعتين المستقيمتين ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ على الترتيب. القطعتان المستقيمتان ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ هما في الواقع وتران في الدائرة؛ لأن طرفي كل قطعة مستقيمة يقعان على الدائرة. والنقطة ‪𝑀‬‏ مركز الدائرة.

بمعلومية أن ‪𝑋‬‏ و‪𝑌‬‏ نقطتا منتصف الوترين ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ على الترتيب، يمكننا القول بأن النقطتين ‪𝑋‬‏ و‪𝑌‬‏ تنصفان الوترين. وبما أن القطعتين المستقيمتين ‪𝑋𝑀‬‏ و‪𝑌𝑀‬‏ تمران بالمركز ‪𝑀‬‏، فنتذكر أن هذا يعني أن ‪𝑋𝑀‬‏ و‪𝑌𝑀‬‏ منصفان عموديان للوترين ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ على الترتيب. بالنظر إلى العلامتين الموجودتين على الشكل، يمكننا ملاحظة أن القطعتين المستقيمتين ‪𝑋𝑀‬‏ و‪𝑌𝑀‬‏ محددتان على أنهما متطابقتان. هذا يعني أن المسافة من المركز ‪𝑀‬‏ إلى الوتر ‪𝐴𝐵‬‏ تساوي المسافة من المركز ‪𝑀‬‏ إلى الوتر ‪𝐶𝐷‬‏. إذن، يمكننا القول إن الوترين على مسافتين متساويتين من المركز.

دعونا نفكر للحظة في سبب أن هاتين المسافتين يجب أن تكونا هما المسافتين العموديتين من الوتر إلى المركز، وهذا عن طريق رسم دائرة أخرى مركزها ‪𝑃‬‏. لا تعني إمكانية رسم وترين ورسم أي قطعتين مستقيمتين متطابقتين من كل وتر إلى مركز الدائرة أن الوترين على مسافتين متساويتين. على سبيل المثال، من الواضح أن هذين الوترين الموضحين باللون الوردي ليسا على مسافتين متساويتين من المركز. لاستنتاج إذا ما كان الوتران على مسافتين متساويتين أم لا، يجب أن يكون الوتران على مسافتين عموديتين من المركز. وقد أوضحنا بالفعل أنه في الدائرة التي مركزها ‪𝑀‬‏، لدينا قطعتان مستقيمتان عموديتان.

الآن، يمكننا تذكر نظرية الأوتار المتساوية البعد. تنص هذه النظرية على أنه إذا كان لدينا وتران في الدائرة نفسها على بعدين متساويين من مركز الدائرة، فإن طوليهما يكونان متساويين. بناء على ذلك، بما أن الوترين ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏ على بعدين متساويين من المركز ‪𝑀‬‏، فيمكننا كتابة أن ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪𝐶𝐷‬‏. نعلم من المعطيات أن طول ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي 60، أو 60 وحدة طول. من ثم نعلم أن ‪𝐶𝐷‬‏ يجب أن يساوي 60 وحدة طول أيضًا. المطلوب في السؤال هو إيجاد طول ‪𝐶𝑌‬‏، لكننا نعلم أن ‪𝑌‬‏ نقطة منتصف ‪𝐶𝐷‬‏. هذا يعني أن طول ‪𝐶𝑌‬‏ يجب أن يساوي نصف 60، أي 30.

إذن، الإجابة هي طول ‪𝐶𝑌‬‏ يساوي 30، وإذا أردنا كتابة الوحدة، فستكون وحدة طول.