نسخة الفيديو النصية
انظر المعادلتين الآنيتين الآتيتين: ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ثمانية، وسالب ثمانية ﺱ ناقص تسعة ﺹ يساوي اثنين. اكتب المحدد Δﺱ. اكتب المحدد Δﺹ. اكتب المحدد Δ.
في هذا السؤال، لدينا معادلتان آنيتان بدلالة متغيرين. ومطلوب منا التعبير عن ثلاثة محددات مختلفة؛ وهي Δﺱ وΔﺹ وΔ. ويمكننا تذكر أن هذه المصفوفات الثلاث متضمنة في قاعدة كرامر. لنبدأ إذن بتذكر كيفية إيجاد المحدد Δﺱ. إننا نريد تكوين مصفوفة مربعة تحتوي على معاملات ﺱ وﺹ وقيم الثوابت. بالطبع، لا يمكننا أن نفعل ذلك مباشرة؛ لأن لدينا ست قيم. بدلًا من ذلك، علينا أن نلاحظ أننا لدينا Δﺱ. ويمكننا أن نتذكر أن الرمز ﺱ في هذا التعبير يخبرنا بأنه علينا التعويض بعمود الثابتين في هاتين المعادلتين عن عمود معاملي ﺱ في مصفوفة المعاملات.
إذن، العمود الأول هنا سيكون عمود الثابتين؛ أي العمود ثمانية، اثنان. والعمود الثاني من هذه المصفوفة سيكون عمود معاملي ﺹ، حيث علينا أن نتذكر كتابة الإشارة السالبة. ومن ثم، هذا هو العمود اثنان، سالب تسعة، وتلك إذن هي الإجابة النهائية. ومن ذلك، نجد أن Δﺱ هو محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها: ثمانية، اثنان، اثنان، سالب تسعة، وهو أيضًا محدد مصفوفة المعاملات، حيث نعوض بعمود الثابتين في هاتين المعادلتين عن عمود معاملي ﺱ.
يمكننا اتباع الخطوات نفسها بالضبط لإيجاد المحدد Δﺹ. العمود الأول في هذه المصفوفة سيتضمن معاملي ﺱ. وهما ثلاثة، سالب ثمانية. بعد ذلك، بما أننا نوجد Δﺹ، فإن العمود الثاني لن يتضمن معاملي ﺹ. بدلًا من ذلك، فإنه سيتضمن ثابتي المعادلتين. وعليه، فإنه يساوي ثمانية، اثنين، وتلك إذن هي الإجابة النهائية. ومن ذلك، نجد أن Δﺹ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها: ثلاثة، ثمانية، سالب ثمانية، اثنان.
وأخيرًا، علينا إيجاد المحدد Δ. تذكر أن Δ هو محدد مصفوفة المعاملات. وهذه هي معاملات ﺱ وﺹ فقط. إذن العمود الأول سيتضمن معاملي ﺱ، وهما ثلاثة، سالب ثمانية. والعمود الثاني سيتضمن معاملي ﺹ، وهما اثنان، سالب تسعة، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية. إذن، نجد أن Δ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها: ثلاثة، اثنان، سالب ثمانية، سالب تسعة.
لكن الجدير بالملاحظة هنا أنه يمكننا استخدام هذه المحددات لحل هاتين المعادلتين الآنيتين. تنص قاعدة كرامر على أنه إذا كان محدد مصفوفة المعاملات Δ غير صفري، فإن ﺱ يساوي Δﺱ مقسومًا على Δ، وﺹ يساوي Δﺹ مقسومًا على Δ هو الحل الوحيد للنظام. بعبارة أخرى، إذا أوجدنا قيم محددات هذه المصفوفات الثلاث، فإنه يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد الحل الوحيد لهذا النظام المكون من معادلتين آنيتين. ولكن، لم يكن ذلك ضروريًّا للإجابة عن هذا السؤال، وإن كان من المفيد التحقق من ذلك للتأكد من صحة هذه المحددات.
