فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لكثيرات الحدود باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب وحساب قيمتها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة مضروبًا في أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة عند ﺱ يساوي سالب اثنين.

حسنًا، أول ما علينا فعله لحل هذه المسألة هو اشتقاق الدالة. نلاحظ أن الدالة على الصورة ﺹ يساوي ﻉﻕ. إذن، سنستخدم قاعدة الضرب لمساعدتنا في اشتقاقها. وتشير قاعدة الضرب إلى أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ.

أولًا، سنحدد أيهما سيكون ﻉ وأيهما سيكون ﻕ. ‏ﻉ سيكون ﺱ أس أربعة، وﻕ يساوي أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة. والآن، ما نريد فعله هو إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. سنبدأ إذن بـ ﺩﻉ على ﺩﺱ والذي يساوي أربعة ﺱ تكعيب. وذلك لأنه من الواضح أننا اشتققنا ﺱ أس أربعة.

لنتذكر كيف فعلنا ذلك، فإننا ضربنا معامل الحد في الأس؛ أي أربعة مضروبًا في واحد. ثم طرحنا واحدًا من الأس؛ أي أربعة ناقص واحد. إذن، هذا يعطينا أربعة ﺱ أس ثلاثة.

حسنًا، هيا الآن نواصل ونشتق ﻕ لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ. حسنًا، لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ، ما علينا فعله هو استخدام قاعدة لمساعدتنا في اشتقاق أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة. القاعدة التي سنستخدمها هي قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ.

حسنًا، الآن لدينا هذه القاعدة، دعونا نلق نظرة على الحد الذي لدينا لنرى إذا ما كان يمكننا تطبيقها. أولًا، سننظر إلى ﻉ ونقول إنها تساوي أربعة ﺱ زائد تسعة. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي أربعة لأننا إذا اشتققنا أربعة ﺱ، فسنحصل على أربعة، وإذا اشتققنا تسعة، نحصل على صفر.

حسنًا، يمكننا الآن الانتقال إلى ﺹ. ‏ﺹ يساوي ﻉ أس تسعة. إذن، ﺩﺹ على ﺩﻉ يساوي تسعة ﻉ أس ثمانية. من ثم، إذا طبقنا قاعدة السلسلة، يمكننا القول إن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة مضروبًا في تسعة ﻉ أس ثمانية، أي ما يساوي ٣٦ﻉ أس ثمانية. لذلك، سنعود ونعوض بـ ﻉ يساوي أربعة ﺱ زائد تسعة، ونحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٣٦ مضروبًا في أربعة ﺱ زائد تسعة أس ثمانية. إذن، يمكننا القول إن ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ٣٦ مضروبًا في أربعة ﺱ زائد تسعة أس ثمانية.

الآن بعد أن أوجدنا ﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ، ما يمكننا فعله هو تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. من ثم، المشتقة الأولى للدالة ﺱ أس أربعة مضروبة في أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة. ومن ثم نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺱ أس أربعة لأن هذا هو ﻉ ثم نضربه في ﺩﻕ على ﺩﺱ، وهو ٣٦ مضروبًا في أربعة ﺱ زائد تسعة أس ثمانية زائد ﻕ، وهو أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو أربعة ﺱ تكعيب.

ها قد انتهينا من إيجاد المشتقة الأولى للدالة. لكن، ماذا نفعل الآن؟ الآن، ما علينا فعله هو التفكير في قيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي سالب اثنين. ولفعل ذلك، علينا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في المشتقة الأولى.

بذلك، نحصل على قيمة المشتقة الأولى، حيث نعوض بسالب اثنين عن ﺱ، ما يساوي سالب اثنين أس أربعة مضروبًا في ٣٦ في أربعة في سالب اثنين زائد تسعة أس ثمانية زائد أربعة في سالب اثنين زائد تسعة أس تسعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في سالب اثنين تكعيب، وهو ما يساوي ١٦ مضروبًا في ٣٦ زائد أربعة مضروبًا في سالب ثمانية وهو ما يساوي ٥٤٤.

إذن، يمكننا القول إن قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة مضروبًا في أربعة ﺱ زائد تسعة أس تسعة عند ﺱ يساوي سالب اثنين تساوي ٥٤٤.