فيديو: حساب المثلثات: زوايا الارتفاع والانخفاض

تعرف على تعريف زوايا الارتفاع والانخفاض. استعن بما تعرفه عن نسبة الظل لحساب قياسات زوايا الارتفاع والانخفاض أو المسافات في مجموعة من المسائل الكلامية.

١٤:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سندرس أحد تطبيقات حساب المثلثات لحساب قياسات زوايا الارتفاع والانخفاض.

أولًا، لنوضح ما تعنيه زوايا الارتفاع وزوايا الانخفاض. والشكلان هنا يفيدان في شرحها، وسنتناول أولًا زوايا الارتفاع. لدينا هنا شكل يوضح شخصًا ينظر إلى جسم أعلاه. زاوية الارتفاع هي الزاوية التي تتكون بين الخط الأفقي وخط الرؤية لهذا الشخص عندما ينظر لأعلى باتجاه هذا الجسم.

زاوية الانخفاض لها مفهوم مشابه، لكن هذه المرة ينظر الراصد لأسفل إلى شيء ما. ومن ثم، فإن زاوية الانخفاض هي الزاوية التي تتكون بين الخط الأفقي وخط الرؤية للراصد عندما ينظر لأسفل باتجاه جسم ما.

في الحقيقة، إذا أضفنا شخصًا آخر، مثلما فعلنا في هذا الشكل على اليمين، عندئذ تكون زاوية الارتفاع للراصد من أسفل وزاوية الانخفاض للراصد من أعلى متساويتين في القياس. إنهما متطابقتان لأن الخطين الأفقيين متوازيان. وعليه، فهاتان الزاويتان هما زاويتان متبادلتان داخليًا بين خطين متوازيين. إذن، كثير من الأسئلة حول زوايا الارتفاع والانخفاض غالبًا ما تكون أسئلة كلامية؛ حيث يكون عليك قراءة وصف ما وتفسيره، ويجدر بنا دائمًا أن نرسم شكلًا كي يساعدنا. وسنرى بعض الأمثلة على ذلك.

ها هو السؤال الأول.

يقول السؤال إن توم يقف فوق جرف ارتفاعه ‪100‬‏ متر، ويرى قاربًا في البحر. قياس زاوية الانخفاض بين توم والقارب ‪51‬‏ درجة. احسب المسافة بين القارب وقاعدة الجرف.

حسنًا، كما ذكرنا، دائمًا ما يعد رسم شكل نقطة بداية مفيدة لتصور الموقف هنا. هذا هو الشكل الذي رسمناه. لدينا جرف، وتوم في أعلاه، وقارب في البحر، وتوم ينظر إلى الأسفل باتجاه القارب. الآن، نعلم أن قياس زاوية الانخفاض ‪51‬‏ درجة. لذا، علينا رسم الخط الأفقي أيضًا. وتذكر أن ذلك لأن زاوية الانخفاض تقاس من الخط الأفقي. إذن، ها هو الخط الأفقي. ونعلم أن قياس زاوية الانخفاض ‪51‬‏ درجة. لذا، علينا أن نكتبها هنا.

والآن، إذا أردنا الاستعانة بحساب المثلثات في حل هذه المسألة، فنحن نحتاج إلى مثلث قائم الزاوية. وسنضيف أيضًا خطًا رأسيًا موازيًا للجرف يصل بين القارب والخط الأفقي. هذا يعطينا المثلث القائم الزاوية الذي سنتعامل معه. الآن، لدينا بعض المعلومات الأخرى. إذ نعلم أن ارتفاع الجرف الذي يقف عليه توم ‪100‬‏ متر. وهذا يعني أنه يمكننا كتابة أن هذا القياس هنا هو ‪100‬‏ متر.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا لم نأخذ في الحسبان طول توم. من الواضح أن توم يقف على قمة الجرف، لذا فهو سيضيف القليل إلى هذا الطول. ولكننا لا نعرف طول توم. لذا، في هذا السؤال، سنتجاهل طول توم. في سؤال آخر، قد تتضمن المعطيات طول توم أو ارتفاع عينيه عن الأرض، وفي هذه الحالة سيكون عليك أخذه في الحسبان. لكن في هذا السؤال، نتعامل مع الطول على أنه ارتفاع الجرف البالغ ‪100‬‏ متر.

والآن مطلوب منا حساب المسافة بين القارب وقاعدة الجرف. إنها إذن المسافة الأفقية هنا، التي نسميها ‪𝑑‬‏ متر. إذن، بالتفكير في كيفية حل هذه المسألة، نجد أنها مسألة حساب مثلثات. وأول خطوة عند التعامل مع سؤال حساب المثلثات هي دائمًا أن نسمي الأضلاع بالمقابل، والمجاور، والوتر؛ بالنسبة للزاوية. أي بالنسبة للزاوية ‪51‬‏ درجة هنا.

إذن، ها هي أسماء الأضلاع. نلاحظ أن طول الضلع المقابل معلوم، ونريد معرفة طول الضلع المجاور. إذن، لدينا ‪𝑂‬‏ و‪𝐴‬‏. لذا سنستخدم نسبة الظل هنا. علينا أن نتذكر إذن تعريف نسبة الظل. نتذكر التعريف الذي يقول إن ‪tan 𝜃‬‏؛ حيث ‪𝜃‬‏ زاوية ما، هو نسبة تساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

ما سنفعله هو إعادة كتابة هذه النسبة مرة أخرى، ولكننا سنعوض بالمعلومات التي نعرفها في هذا السؤال. إذن سنعوض عن ‪𝜃‬‏ بـ ‪51‬‏ درجة، وسنعوض عن طول المقابل بـ ‪100‬‏، وسنعوض عن طول المجاور بـ ‪𝑑‬‏؛ لأن هذا هو الحرف الذي نرمز له به في هذا السؤال. إذن، لدينا ‪tan 51‬‏ يساوي ‪100‬‏ على ‪𝑑‬‏.

والآن نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏. الآن ‪𝑑‬‏ موجود في مقام الكسر، إذن أول ما سنفعله هو أننا سنضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑑‬‏. وهذا يعطينا ‪𝑑‬‏ مضروبًا في ‪tan 51‬‏ يساوي ‪100‬‏. والآن الخطوة التالية هي جعل ‪𝑑‬‏ في طرف بمفرده وذلك بقسمة كلا طرفي المعادلة على ‪tan 51‬‏. ‏‏‪tan 51‬‏ هو مجرد عدد، لذا يمكننا فعل ذلك ببساطة. وبهذا نحصل على ‪𝑑‬‏ يساوي ‪100‬‏ على ‪tan 51‬‏.

والآن، في هذه المرحلة، سنستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. وبما أن العدد ‪51‬‏ يعبر عن زاوية مقيسة بالدرجات، علينا التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات عند حل هذا السؤال. وبحساب ذلك، نحصل على ‪𝑑‬‏ يساوي ‪80.9784‬‏. لم يطلب منا السؤال تقريب الإجابة. لذا، في هذه الحالة، سنقربها لأقرب متر. إذن، هذا يعني أن المسافة بين القارب وقاعدة الجرف تبلغ ‪81‬‏ مترًا لأقرب متر.

من المهم جدًا أن ترسم شكلًا إذا لم يكن مرسومًا بالفعل. اقرأ المعلومات الواردة في السؤال جيدًا وتأكد من وضعها على الشكل بطريقة صحيحة. استخدم نسبة الظل، ثم حل المعادلة الناتجة لإيجاد طول الضلع الذي تبحث عنه.

حسنًا، ها هو السؤال الثاني الذي سنتناوله.

تبعد جيس مسافة ‪40‬‏ مترًا عن مبنى ارتفاعه ‪25‬‏ مترًا. ما قياس زاوية الارتفاع من جيس إلى قمة المبنى؟

إذن، كما قلنا سابقًا، سيكون رسم شكل أمرًا جيدًا حقًا للبدء في حل هذا السؤال. حسنًا، هذه المرة سنمثل جيس بنقطة فقط. فالمسألة لم تخبرنا بطولها. لذا لن نأخذه في الحسبان. إنها تبعد مسافة ‪40‬‏ مترًا عن المبنى الذي ارتفاعه ‪25‬‏ مترًا. ونحن نفترض هنا افتراضًا منطقيًا هو أن المبنى يصنع زاوية قائمة مع الأرض الأفقية. إذن، نريد حساب قياس زاوية الارتفاع عندما تنظر جيس لأعلى إلى قمة المبنى. إنها إذن هذه الزاوية التي سميناها ‪𝜃‬‏ على الشكل.

ومثل المسألة السابقة، هذه مسألة حساب مثلثات، لذا من المنطقي دائمًا أن نسمي أضلاع المثلث الثلاثة أولًا. الوتر وهو الضلع الأطول هنا، والمقابل وهو الضلع المقابل للزاوية ‪𝜃‬‏، ثم المجاور وهو الضلع المحصور بين الزاوية ‪𝜃‬‏ والزاوية القائمة. الضلعان المعلوم طولاهما هما المقابل والمجاور. لذا، سنستخدم نسبة الظل مرة أخرى. إذن، لنكتب تعريفها. ‏‏‪‏tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

إذن، ما سنفعله هو أننا سنكتب هذه النسبة بالأسفل. لكننا سنعوض عن طولي الضلعين المقابل والمجاور بقيمتيهما في هذا السؤال، أي ‪25‬‏ و‪40‬‏. إذن، لدينا ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪25‬‏ على ‪40‬‏. ويمكن تبسيط ذلك؛ حيث يمكننا قسمة جزأي هذه النسبة على خمسة. إذن، يمكننا إن أردنا تبسيطها لتصبح خمسة على ثمانية. والآن، بما أننا نريد حساب قياس زاوية هذه المرة وليس طول ضلع فعلينا استخدام الدالة العكسية للظل للقيام بذلك.

إذن، ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan‬‏ خمسة على ثمانية. وعند هذه المرحلة، سنستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. هذا يعني أن ‪𝜃‬‏ تساوي ‪32.00538‬‏. وإذا قربنا ذلك لأقرب درجة، فسنحصل على إجابة هذا السؤال، وهي أن قياس زاوية الارتفاع يساوي ‪32‬‏ درجة. إذن، كما ذكرنا من قبل، ابدأ برسم شكل، وسم أضلاع المثلث القائم الزاوية، ثم استخدم نسبة الظل لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة.

حسنًا، السؤال الأخير الذي سنتناوله يقول: تبعد سو مسافة أربعة أمتار ونصف عن تمثال. قياس زاوية الارتفاع من سو إلى قاعدة التمثال ‪18‬‏ درجة. وقياس زاوية الارتفاع من سو إلى قمة التمثال ‪49‬‏ درجة. والمطلوب إيجاد طول التمثال.

حسنًا، فكر جيدًا في المعلومات الواردة في هذا السؤال. لدينا زاويتا ارتفاع. وإحداهما إلى قاعدة التمثال، ما يعني أن هذا التمثال ليس على الأرض مع سو. إنه مرتفع بطريقة ما. لذا علينا أن نأخذ ذلك في الاعتبار عند رسم الشكل. إذن، يبدو الوضع هكذا. سو تقف على الأرض، وتنظر لأعلى باتجاه التمثال. سنرسم أيضًا الخط الأفقي الذي يمثل الأرض.

دعونا الآن نضف المعلومات التي نعرفها. تقف سو على بعد أربعة أمتار ونصف. إذن، المسافة الأفقية هنا تساوي ‪4.5‬‏ أمتار. لدينا أيضًا قياسا زاويتي ارتفاع. فقياس زاوية الارتفاع من سو إلى القاعدة ‪18‬‏ درجة. إنها هذه الزاوية هنا. وقياس زاوية الارتفاع من سو إلى القمة ‪49‬‏ درجة. إنها هذه الزاوية الكلية هنا، مقيسة من الخط الأفقي. ونريد إيجاد طول التمثال. أي إننا نريد إيجاد هذه المسافة هنا، ونشير إليها بـ ‪𝑥‬‏ متر.

والآن، هذا الطول ‪𝑥‬‏ ليس ضلعًا في مثلث قائم الزاوية. ونحن نحتاج إلى مثلثات قائمة الزاوية لإجراء هذا النوع من حساب المثلثات. إذن سيتطلب الأمر إجراء عملية من مرحلتين لحساب هذا الطول ‪𝑥‬‏. يوجد مثلثان قائما الزاوية في هذا الشكل. لذا، ما سأفعله هو رسم كل منهما على حدة لكي نتمكن من تصور المسألة بسهولة أكبر.

ها هما المثلثان القائما الزاوية. دعونا فقط نطابقهما مع الشكل الأصلي. هذا الطول هنا الذي سنسميه ‪𝑦‬‏، هو هذا الطول هنا في الشكل الأصلي. إذن، هذا هو المثلث الأصغر القائم الزاوية الذي في الأسفل. هذا الطول هنا في المثلث الأكبر الذي سنسميه ‪𝑧‬‏، هو هذا الطول الكلي هنا في الشكل الأصلي. إذن، ربما يمكنك الآن تخمين الطريقة التي سنستخدمها. سنستخدم هذين المثلثين القائمي الزاوية لحساب قيمتي ‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏. وبالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن ‪𝑥‬‏ هو الفرق بين هاتين القيمتين. إذن، ‪𝑥‬‏ هو ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏.

أولًا، في كل من هذين المثلثين، سنسمي الأضلاع الثلاثة: الوتر، والمقابل، والمجاور، بالنسبة إلى هاتين الزاويتين اللتين قياساهما ‪18‬‏ و‪49‬‏ درجة. في كلا المثلثين، نعرف طول الضلع المجاور، ونريد إيجاد طول الضلع المقابل، ما يعني أننا سنستخدم نسبة الظل. لذا، سنتذكر تعريف نسبة الظل. نتذكر أن تعريفها هو أن ظل الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.

إذن، سنستخدم هذا التعريف مرتين. نبدأ بالمثلث الأصغر، ونعوض عن ‪𝜃‬‏ بـ ‪18‬‏ درجة، وعن طول الضلع المجاور بـ ‪4.5‬‏. إذن، لدينا ‪tan 18‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ على ‪4.5‬‏. الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي ضرب كلا طرفي المعادلة في ‪4.5‬‏ للتخلص من المقام. هذا يعطينا أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪4.5 tan 18‬‏. وقد بدلنا بين طرفي المعادلة فقط. والآن، إذا كتبنا ذلك على الآلة الحاسبة، فسنحصل على القيمة ‪1.64‬‏. وسنكتبها كما هي بالضبط الآن لأننا سنحتاج لاستخدام ‪𝑦‬‏ مرة أخرى في حل السؤال. وإذا احتفظنا بها كما هي هكذا، فسنحصل على قيمة دقيقة ولن نرتكب أي أخطاء نتيجة للتقريب.

والآن، نتعامل مع المثلث الثاني. ومرة أخرى، نريد كتابة نسبة الظل ولكن بالتعويض بالمعلومات الأخرى التي نعرفها. إذن، نعوض عن ‪𝜃‬‏ بـ ‪49‬‏، وعن طول الضلع المجاور بـ ‪4.5‬‏ مرة أخرى. إذن، لدينا ‪tan 49‬‏ يساوي ‪𝑧‬‏ على ‪4.5‬‏. وكما فعلنا في المثلث السابق، علينا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ‪4.5‬‏. وبذلك نحصل على ‪𝑧‬‏ يساوي ‪4.5 tan 49‬‏. مرة أخرى إذا حسبنا ذلك، فسنحصل على قيمة تساوي ‪5.18‬‏ تقريبًا. لكننا سنحتفظ بها الآن كما هي.

حسنًا، الخطوة الأخيرة هي حساب طول هذا التمثال، وهو ‪𝑥‬‏. وتذكر أننا قلنا إنه لفعل ذلك، علينا أن نحسب ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏. إذن، لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي ‪4.5 tan 49‬‏ ناقص ‪4.5 tan 18‬‏. وهذه هي المرحلة الأولى التي سنستخدم فيها الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. إذن، نعرف من ذلك أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪3.7145‬‏. الآن، هذه الإجابة بوحدة المتر. لذا، إذا قربناها لأقرب جزء من مائة، فإننا سنقربها لأقرب سنتيمتر. وذلك يعني أن طول التمثال ‪3.71‬‏ أمتار.

إذن، في هذا السؤال كان من المهم حقًا أن نرسم الشكل من البداية بطريقة صحيحة. لا تفترض أن التمثال يقف على الأرض المستوية نفسها التي تقف عليها سو. كان علينا قراءة السؤال بعناية واستنتاج أن التمثال في الواقع مرتفع بالنسبة لها.

تلخيصًا لما سبق، عرفنا زوايا الارتفاع والانخفاض. ورأينا كيف نستخدم نسبة الظل للإجابة عن الأسئلة التي تتطلب حساب قياس زاوية ارتفاع أو زاوية انخفاض، أو حساب طول مجهول بناء على وصف كلامي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.