فيديو السؤال: إيجاد مصفوفة مجهولة في معادلة مصفوفة الرياضيات

أوجد المصفوفة ﺃ حيث ﺃ [ﺱ_١; ﺱ_٢; ﺱ_٣; ﺱ_٤] = [ﺱ_١ + ٣ﺱ_٢ + ٢ﺱ_٣; ٢ﺱ_٣ + ﺱ_١; ٦ﺱ_٣; ﺱ_٤ + ٣ﺱ_٢ + ﺱ_١].

٠٤:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المصفوفة ﺃ حيث ﺃ مضروبًا في مصفوفة العمود التي عناصرها ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة يساوي مصفوفة العمود التي عناصرها ﺱ واحد زائد ثلاثة ﺱ اثنين زائد اثنين ﺱ ثلاثة، واثنين ﺱ ثلاثة زائد ﺱ واحد، وستة ﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة زائد ثلاثة ﺱ اثنين زائد ﺱ واحد.

المطلوب منا هو إيجاد المصفوفة ﺃ، التي عند ضربها في مصفوفة العمود الموجودة على اليمين، تساوي مصفوفة العمود على اليسار. أول ما يمكننا فعله هو إيجاد رتبة المصفوفة ﺃ. أي عدد الأعمدة وعدد الصفوف. ويمكننا استخدام تعريف ضرب المصفوفات لمساعدتنا هنا. ينص هذا التعريف على أنه في المصفوفتين ﺃ وﺏ، يكون ضرب المصفوفة معرفًا تمامًا إذا كانت ﺃ من الرتبة ﻡ في ﻥ، وﺏ من الرتبة ﻥ في ﻝ، بحيث يكون حاصل الضرب ﺃﺏ، الذي سنرمز له بـ ﺟ، من الرتبة ﻡ في ﻝ.

في هذه الحالة، إذا جعلنا مصفوفة العمود التي عناصرها ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة تساوي ﺏ ومصفوفة العمود الموجودة في الطرف الأيسر هي المصفوفة ﺟ، وعلى الرغم أننا لا نعرف رتبة المصفوفة ﺃ، فإننا سوف نستنتج أن رتبة ﺏ هي أربعة في واحد ورتبة ﺟ هي أربعة في واحد. ما يعني أن كلًّا منهما يحتوي على أربعة صفوف وعمود واحد، إذن، ﻥ يساوي أربعة وﻝ يساوي واحدًا وﻡ يساوي أربعة. وبما أن المصفوفة ﺃ لا بد أن تكون من الرتبة ﻡ في ﻥ؛ إذن فهي من الرتبة أربعة في أربعة، وبذلك تكون ﺃ مصفوفة من الرتبة أربعة في أربعة. فهي تحتوي على أربعة صفوف وأربعة أعمدة.

دعونا نفسح بعض المساحة، فتصبح المعادلة المصفوفية على الصورة الموضحة؛ حيث ﺃ هي مصفوفة من الرتبة أربعة في أربعة. لتحديد عناصر المصفوفة ﺃ، علينا محاذاة المتغيرات الموجودة في الأعمدة نفسها بالمصفوفة في الطرف الأيسر. توجد أربعة متغيرات: ﺱ واحد، وﺱ اثنان، وﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة. لذا يتعين علينا أن نترك مسافة في نهاية الصف الأول من أجل ﺱ أربعة. ‏ﺱ واحد الموجودة في الصف الثاني يجب نقلها إلى مقدمة الصف. وﺱ ثلاثة تكتب أسفل ﺱ ثلاثة في الصف الأول، وهكذا.

تكون العناصر الحقيقية في مصفوفة المعاملات ﺃ هي معاملات المتغيرات في الصف المناظر لها في المصفوفة ﺟ بالطرف الأيسر. وعليه، نجد أن الصف الأول يحتوي على العناصر؛ واحد، وثلاثة، واثنين، وصفر، لأن معامل ﺱ أربعة في الصف الأول من ﺟ يساوي صفرًا. إذن، الصف الثاني من ﺃ يحتوي على العناصر؛ واحد، وصفر، واثنين، وصفر. أما الصف الثالث من المصفوفة ﺃ، فيحتوي على العناصر؛ صفر، وصفر، وستة، وصفر. وأخيرًا، يحتوي الصف الرابع على العناصر؛ واحد، وثلاثة، وصفر، وواحد.

ومن ثم، عند ضرب المصفوفة ﺃ في متجه العمود الذي يتضمن العناصر ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة يساوي متجه العمود الذي يتضمن العناصر ﺱ واحد زائد ثلاثة ﺱ اثنين زائد اثنين ﺱ ثلاثة، واثنين ﺱ ثلاثة زائد ﺱ واحد، وستة ﺱ ثلاثة، وﺱ أربعة زائد ثلاثة ﺱ اثنين زائد ﺱ واحد، تكون عناصرها واحدًا، وثلاثة، واثنين، وصفرًا في الصف الأول؛ وواحدًا، وصفرًا، واثنين، وصفرًا في الصف الثاني؛ وصفرًا، وصفرًا، وستة، وصفرًا في الصف الثالث؛ وواحدًا، وثلاثة، وصفرًا، وواحدًا في الصف الرابع. ما يعني أن لدينا مصفوفة من الرتبة أربعة في أربعة. ويمكننا التحقق من صحة ذلك عن طريق ضرب المصفوفتين الموجودتين في الطرف الأيمن ومساواة الناتج بالطرف الأيسر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.