فيديو السؤال: تحديد نوع التقعر لمنحنى معرف بارامتريًا باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

انظر المنحنى المعرف بارامتريًا ﺱ = جتا^٣ 𝜃، وﺹ = جا^٣ 𝜃. حدد إذا ما كان هذا المنحنى مقعرًا لأعلى، أم لأسفل، أم ليس مقعرًا لأعلى ولا لأسفل، عند 𝜃 = 𝜋‏/‏٦.

١١:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

انظر المنحنى المعرف بارامتريًا ﺱ يساوي جتا تكعيب 𝜃، وﺹ يساوي جا تكعيب 𝜃. حدد إذا ما كان هذا المنحنى مقعرًا لأعلى، أو لأسفل، أو ليس مقعرًا لأعلى ولا لأسفل، عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

معطى لنا في السؤال منحنى معرف بمعادلتين بارامتريتين. لدينا ﺱ بدلالة 𝜃 وﺹ بدلالة 𝜃. علينا تحديد نوع تقعر هذا المنحنى عند النقطة التي فيها 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

في البداية، علينا أن نتذكر المقصود بتقعر المنحنى. يوضح لنا التقعر ما إذا كانت خطوط مماس المنحنى تقع أعلى المنحنى أم أسفله. ويمكننا، على وجه الخصوص، تحديد ذلك باستخدام المشتقة الثانية. نعلم أنه إذا كان ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع أكبر من صفر عند نقطة ما، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأعلى عند هذه النقطة. ونعلم أيضًا أنه إذا كان ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع أقل من صفر عند نقطة ما، فإن المنحنى يكون مقعرًا لأسفل عند هذه النقطة.

إذن، يمكننا التحقق من تقعر المنحنى لدينا بالنظر إلى ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكن، لا يمكننا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ مباشرة في هذه الحالة؛ لأن المنحنى المعطى لنا منحنى معرف بارامتريًا. لم يعطنا السؤال قيمة ﺹ بدلالة ﺱ. لكنه أعطانا ﺹ بدلالة 𝜃 وﺱ بدلالة 𝜃. لذا، سيكون علينا استخدام قواعد اشتقاق المنحنيات المعرفة بارامتريًا.

أول ما سنتذكره هو تطبيق لقاعدة السلسلة. إذا كان ﺹ دالة في المتغير 𝜃 وﺱ دالة في المتغير 𝜃، يمكننا باستخدام قاعدة السلسلة إيجاد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. وهذا لا يصح بالطبع إلا إذا كان المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 لا يساوي صفرًا.

وبالطبع، علينا إيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ. أي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، يمكننا إجراء ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. فنحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. وكما قلنا سابقًا، لن يصح هذا إذا كان المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي صفرًا. لذا، لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. لكن لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ، علينا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى 𝜃 وﺱ بالنسبة إلى 𝜃. وﺹ وﺱ معطيان لنا كدالتين في المتغير 𝜃. لذا، يمكننا فعل ذلك.

لنبدأ بإيجاد تعبير لـ ﺩﺱ على ﺩ𝜃. نعلم أن ﺱ يساوي جتا تكعيب 𝜃، لذا علينا اشتقاق جتا تكعيب 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. والآن، يوجد بضع طرق مختلفة يمكننا بها إيجاد قيمة هذه المشتقة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. لكن في هذه الحالة، يمكننا استخدام قاعدة القوة العامة. تذكر، تنص القاعدة العامة للقوة على أنه لأي عدد حقيقي ﻥ ودالة قابلة للاشتقاق ﺩ 𝜃، فإن مشتقة ﺩ 𝜃 أس ﻥ بالنسبة إلى 𝜃 تساوي ﻥ في ﺩ شرطة 𝜃 مضروبًا في ﺩ 𝜃 أس ﻥ ناقص واحد.

في هذه الحالة، نريد اشتقاق جتا تكعيب 𝜃. لذا، سنجعل ﺩ 𝜃 يساوي جتا 𝜃 وﻥ يساوي ثلاثة. ثم، لاستخدام القاعدة العامة للقوة، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة 𝜃. وبالطبع، هذه نتيجة مشتقة مثلثية قياسية. مشتقة جتا 𝜃 بالنسبة لـ 𝜃 تساوي سالب جا 𝜃. والآن، يمكننا تطبيق القاعدة العامة للقوة. فنحصل على ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي ثلاثة في سالب جا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃 مرفوعًا للقوة ثلاثة ناقص واحد.

وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على سالب ثلاثة جا 𝜃 في جتا تربيع 𝜃. الآن، سنمسح ما كتبناه ونفعل شيئًا مشابهًا جدًا لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃. هذه المرة، علينا اشتقاق جا تكعيب 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. مرة أخرى، يمكننا إجراء ذلك باستخدام قاعدة السلسلة، لكننا سنستخدم القاعدة العامة للقوة.

هذه المرة، سنشتق جا تكعيب 𝜃، لذا سنجعل ﺩ 𝜃 يساوي جا 𝜃 وقيمة ﻥ تساوي ثلاثة. هذه المرة، علينا استخدام حقيقة أن مشتقة جا 𝜃 بالنسبة لـ 𝜃 تساوي جتا 𝜃. وعليه، سنجد أن ﺩشرطة 𝜃 تساوي جتا 𝜃. والآن، بتطبيق القاعدة العامة للقوة، نحصل على ﺩﺹ على ﺩ𝜃 يساوي ثلاثة جتا 𝜃 مضروبًا في جا 𝜃 مرفوعًا للقوة ثلاثة ناقص واحد. وبالطبع يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃.

الآن وبعد أن أوجدنا تعبيرين لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃 وﺩﺱ على ﺩ𝜃، سنمسح ما كتبناه هنا ونستخدم هذين التعبيرين لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، باستخدام هذه الصيغة، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. سنعوض بعد ذلك بالتعبيرين اللذين حصلنا عليهما لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃 وﺩﺱ على ﺩ𝜃. عندئذ نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة جتا 𝜃 في جا تربيع 𝜃 الكل مقسوم على سالب ثلاثة جا 𝜃 في جتا تربيع 𝜃.

ويمكننا تبسيط هذا المقدار. أولًا، سنحذف العامل المشترك ثلاثة من البسط والمقام. بعد ذلك، سنحذف العامل المشترك جا 𝜃 من البسط والمقام. وأخيرًا، سنحذف العامل المشترك جتا 𝜃 من البسط والمقام. وبذلك، يتبقى لدينا جا 𝜃 مقسومًا على سالب جتا 𝜃. ويمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة سالب ظا 𝜃.

والآن نحن مستعدون لإيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بإيجاد البسط في الصيغة التي لدينا. البسط هو مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃. لكننا أوضحنا بالفعل أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ظا 𝜃. لذا، علينا اشتقاق سالب ظا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. وهذه إحدى نتائج المشتقة المثلثية القياسية. مشتقة ظا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي قا تربيع 𝜃.

وهكذا، باستخدام ذلك، نكون قد أوضحنا أن مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب قا تربيع 𝜃. والآن، كل ما علينا فعله لإيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ هو قسمة هذا التعبير على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. لكننا بالفعل أوجدنا ﺩﺱ على ﺩ𝜃. وهو يساوي سالب ثلاثة جا 𝜃 في جتا تربيع 𝜃. إذن، باستخدام الصيغة الموجودة لدينا والتعويض بالتعبيرين اللذين حصلنا عليهما في البسط والمقام، نحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب قا تربيع 𝜃 مقسومًا على سالب ثلاثة جا 𝜃 مضروبًا في جتا تربيع 𝜃.

ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا؛ حيث إن سالب واحد مقسومًا على سالب واحد يساوي واحدًا. والآن، يمكننا البدء في تبسيط هذا التعبير أكثر. لكن تذكر أن كل ما يهمنا هو معرفة نوع تقعر هذا المنحنى عند نقطة ما. ولمعرفة هذا، فإن كل ما يعنينا هنا هو معرفة ما إذا كانت القيمة المخرجة عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة موجبة أم سالبة. نعلم أن قا تربيع 𝜃 يساوي قيمة مربعة؛ أي إنه سيكون دائمًا أكبر من أو يساوي صفرًا. وبالمثل، جتا تربيع 𝜃 هو أيضًا قيمة مربعة. لذا، سيكون أكبر من أو يساوي صفرًا لأي قيمة مدخلة لـ 𝜃.

ومن ثم، فإن الجزء الوحيد الذي يمكن أن يكون سالبًا في هذا التعبير، هو جا 𝜃. لذا، يمكننا ببساطة أن نوجد قيمته. نعرف أن جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. وتذكر أن هذه الصيغة لا تصح إلا إذا كان ﺩﺱ على ﺩ𝜃 لا يساوي صفرًا. لذا، علينا التحقق من أن جتا 𝜋 على ستة أيضًا لا يساوي صفرًا. بالطبع، نعلم أن جتا 𝜋 على ستة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. إذن، هذا لا يساوي صفرًا.

ما أثبتناه إذن هو أنه عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة، فإن البسط ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يكون موجبًا. إنه مربع عدد غير صفري. وبالمثل، المقام أيضًا موجب. فهو حاصل ضرب ثلاثة أعداد موجبة غير صفرية. إذن، عند 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة، فإن ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي خارج قسمة عددين موجبين. وعليه، فإن قيمته موجبة.

وتذكر أنه إذا كانت قيمة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبة عند نقطة ما، فإننا نعلم أن المنحنى مقعر لأعلى عند هذه النقطة. إذن، علمنا من المعطيات أن المنحنى المعرف بارامتريًا ﺱ يساوي جتا تكعيب 𝜃، وﺹ يساوي جا تكعيب 𝜃. وعليه، تمكنا من إثبات أن المنحنى يكون مقعرًا لأعلى عند النقطة التي فيها 𝜃 يساوي 𝜋 على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.