نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة المنطقة التي يحدها من الأعلى المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، ويحدها من الأسفل المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع، ويحدها من جانبها المستقيم ﺱ يساوي واحدًا.
المطلوب منا في السؤال هو إيجاد مساحة منطقة يحدها من الأعلى المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، ويحدها من الأسفل المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع، ويحدها من جانبها الخط الرأسي ﺱ يساوي واحدًا. ونحن نعرف كيف نحسب المساحة المحصورة بين دالتين.
إن ﺩ وﺭ دالتان متصلتان على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. وﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ على هذه الفترة المغلقة. يمكننا إذن حساب المساحة التي يحدها من الأعلى ﺩﺱ، ويحدها من الأسفل ﺭﺱ، ويحدها من جانبها ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ على أنها التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
في حالتنا، يحد المنطقة من الأعلى المنحنى ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ. إذن، سنجعل ﺩ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ. ونلاحظ أن هذا دالة كسرية وأنها متصلة عندما لا يساوي مقامها صفرًا. وبالمثل، نلاحظ أن المنطقة يحدها من الأسفل المنحنى ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على اثنين ﺱ تربيع. إذن، سنجعل ﺭﺱ يساوي هذا. ونلاحظ أن هذا أيضًا دالة كسرية وأنها متصلة عندما لا يساوي مقامها صفرًا.
وهكذا نكون أوجدنا المنطقتين اللتين تكون فيهما الدالتان ﺩ وﺭ متصلتين. والآن، دعونا نمثل المنطقة بيانيًا حتى يمكننا إيجاد الفترة المغلقة التي علينا إيجاد تكاملها. سنبدأ بتمثيل دالة المقلوب ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ بيانيًا. نريد الآن أن نرسم على نفس التمثيل البياني المنحنى ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على اثنين ﺱ تربيع. نعلم الصورة العامة للتمثيل البياني لهذا المنحنى حيث إنه يماثل المنحنى واحدًا مقسومًا على ﺱ تربيع. فيما عدا أنه سيحدث له تمدد بالمعامل نصف في الاتجاه الرأسي.
يمكننا إيجاد التقاطعات بين المنحنيين ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، وﺹ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع، عن طريق حل المعادلة واحد على ﺱ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع. بضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين ﺱ تربيع، نحصل على اثنين ﺱ يساوي واحدًا، والذي يمكننا حله لنحصل على ﺱ يساوي نصفًا. إذن، يتقاطع المنحنيان فقط عند ﺱ يساوي نصفًا. سنضيف أيضًا ﺱ يساوي واحدًا؛ لأن هذا هو الموضع الذي يحد المنطقة من جانبها.
يخبرنا السؤال بأن المنطقة يحدها من الأعلى واحد على ﺱ ويحدها من الأسفل واحد على اثنين ﺱ تربيع. إذن، يمكننا رسم المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع بالأسفل في هذه المنطقة ثم نتابع. لكن علينا أن نتوخى الحذر، دعونا نتحقق من صحة ذلك.
أولًا، نعرف أنه عندما يكون ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا، فإن المنحنى واحد مقسوم على اثنين ﺱ تربيع يكون موجبًا. لذا لا داعي للقلق بشأن هذه الحالة. وبالنسبة إلى قيم ﺱ الموجبة، نعلم أن واحدًا مقسومًا على ﺱ سيكون أكبر من واحد مقسوم على اثنين ﺱ تربيع عندما يكون مقامه أصغر، أي عندما يكون ﺱ أصغر من اثنين ﺱ تربيع. وبالمثل، واحد مقسوم على ﺱ سيكون أصغر من واحد مقسوم على اثنين ﺱ تربيع عندما يكون مقامه أكبر.
هناك بعض الطرق المختلفة للتحقق من أيهما أكبر. سنفكر في منحنى يساوي الفرق بين القيمتين. عندما يكون هذا المنحنى أعلى المحور ﺱ، يكون اثنان ﺱ تربيع أكبر. وعندما يكون أسفل المحور ﺱ، يكون اثنان ﺱ تربيع أصغر. نأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا لنحصل على ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص واحد. بمساواة ذلك بصفر، نجد أن أحد العاملين لدينا لا بد وأن يساوي صفرًا. إذن، إما ﺱ يساوي صفرًا وإما ﺱ يساوي نصفًا. ونستنتج من هذا أن نقاط التقاطع مع المحور ﺱ تقع عند صفر ونصف.
وأخيرًا، بما أن الحد الرئيسي لمجموع حدود كثيرة الحدود يساوي اثنين ﺱ تربيع، أي موجب، يمكننا تمثيل المنحنى بيانيًا. وسيكون شكله مماثلًا لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. وبالنسبة إلى قيم ﺱ التي هي أكبر من صفر، نلاحظ أن المنحنى يقع أسفل المحور ﺱ عندما يكون ﺱ بين صفر ونصف. ويقع أعلى المحور ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من نصف. إذن، يكون الفرق موجبًا عندما يكون ﺱ أكبر من نصف. وهذا يماثل قولنا إن اثنين ﺱ تربيع أكبر من ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من نصف. ويكون الفرق سالبًا عندما يكون ﺱ بين صفر ونصف. أي إن اثنين ﺱ تربيع أصغر من ﺱ عندما يكون ﺱ بين صفر ونصف.
وأخيرًا، نستنتج من ذلك أن الرسم يجب أن يبدأ أعلى المنحنى واحد على ﺱ ثم يتجه إلى أسفل المنحنى واحد على ﺱ. والآن، من خلال هذا الرسم، نلاحظ أن المنطقة يحدها من الأعلى واحد على ﺱ، ومن الأسفل واحد على اثنين ﺱ تربيع، وعلى اليسار ﺱ يساوي نصفًا، وعلى اليمين ﺱ يساوي واحدًا. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونناقش إذا ما كان يمكننا استخدام قاعدة التكامل لإيجاد هذه المساحة.
نعلم أن ﺩ وﺭ تكونان متصلتين على أي فترة لا تتضمن ﺱ يساوي صفرًا. فهما متصلتان تحديدًا على الفترة المغلقة من نصف إلى واحد. وقد ناقشنا سابقًا أن ﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي نصفًا. إذن، ينطبق هذا أيضًا على الفترة المغلقة من نصف إلى واحد. ومن ثم، نستنتج من هذا أنه يمكننا حساب مساحة المنطقة باستخدام التكامل من نصف إلى واحد لـ ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يخبرنا أن المساحة تساوي التكامل من نصف إلى واحد لواحد على ﺱ ناقص واحد على اثنين ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ.
نحن الآن جاهزون لإيجاد هذا التكامل. إننا نتذكر أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وبالنسبة إلى الثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، تخبرنا قاعدة القوى للتكامل أن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃﺱ أس ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. إذ إننا نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على قيمة هذا الأس الجديد.
تكامل واحد على ﺱ يعطينا اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. ثم نعيد كتابة سالب واحد مقسومًا على اثنين ﺱ تربيع على صورة سالب نصف مضروبًا في ﺱ أس سالب اثنين. إذن، عند إيجاد تكامل هذا، نضيف واحدًا إلى الأس لنحصل على سالب واحد، ثم نقسم على الأس الجديد الذي هو سالب واحد. هذا يعطينا واحدًا مقسومًا على اثنين ﺱ. وبما أننا نوجد تكاملًا محددًا، يلغى ثابتا التكامل عندما نوجد قيمة ذلك عند حدي التكامل. إذن، نحذف ذلك.
بإيجاد قيمة ذلك عند حدي التكامل، ﺱ يساوي نصفًا وﺱ يساوي واحدًا، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد واحد مقسومًا على اثنين في واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لنصف زائد واحد مقسومًا على اثنين في نصف. القيمة المطلقة لواحد تساوي واحدًا. واللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا.
يمكننا تبسيط واحد مقسومًا على اثنين في واحد ليساوي نصفًا فقط. وبالمثل، واحد مقسومًا على اثنين في نصف يعطينا واحدًا. هذا يعطينا نصفًا ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لنصف ناقص واحد. نرى أن النصف هو عدد موجب، ومن ثم فإن القيمة المطلقة للنصف تساوي نصفًا فقط.
وأخيرًا، يمكننا تبسيط ذلك أكثر باستخدام قاعدة القوى للوغاريتمات، التي تنص على أن ﺃ في لوغاريتم ﺏ يساوي لوغاريتم ﺏ أس ﺃ. باستخدام ذلك، يمكننا تبسيط الإجابة إلى سالب نصف زائد اللوغاريتم الطبيعي لمقلوب نصف. ومقلوب نصف يساوي اثنين، وهو ما يعطينا سالب نصف زائد اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. وبذلك نكون أوضحنا أن مساحة المنطقة التي يحدها من الأعلى المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، ويحدها من الأسفل المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ تربيع، ويحدها من جانبها ﺱ يساوي واحدًا تساوي سالب نصف زائد اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.
