فيديو السؤال: إيجاد الزمن الذي يستغرقه جسم ساقط للوصول إلى سرعة معينة بمعلومية سرعته النهائية الرياضيات

قفز قافز مظلات من طائرة ثابتة. كانت سرعة قافز المظلات النهائية ٥٥ م‏/‏ث. إذا كانت مقاومة الهواء تتناسب طرديًّا مع السرعة، فكم يستغرق قافز المظلات لتصل سرعته إلى ٥٤ م‏/‏ث؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.اعتبر أن ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

١٧:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

قفز قافز مظلات من طائرة ثابتة. كانت سرعة قافز المظلات النهائية ٥٥ مترًا لكل ثانية. إذا كانت مقاومة الهواء تتناسب طرديًّا مع السرعة، فكم يستغرق قافز المظلات لتصل سرعته إلى ٥٤ مترًا لكل ثانية؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية. اعتبر أن ﺩ، وهي عجلة الجاذبية الأرضية، تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

يتعلق هذا السؤال بالحركة. وسنبدأ برسم شكل بسيط جدًّا. يصف السؤال قافز مظلات يقفز، والذي سنمثله باستخدام هذه الدائرة. حسنًا، نحن نعلم أن اتجاه وزن الجسم يكون لأسفل نحو الأرض مباشرة. بمجرد أن يقفز قافز المظلات، فإنه يبدأ في السقوط في هذا الاتجاه؛ لأن هذا هو اتجاه قوة وزنه. لقد مثلنا هنا وزن قافز المظلات باستخدام الحرف ﻭ. ونعرف أن هذا يساوي كتلة الجسم ﻙ مضروبة في عجلة الجاذبية ﺩ.

يتضمن النظام المعطى في السؤال قوة أخرى وهي مقاومة الهواء. ستعاكس مقاومة الهواء اتجاه حركة الجسم. وفي هذا النظام، من المهم أن نعرف أن قافز المظلات قفز من طائرة ثابتة. يعني هذا أنه يبدأ التحرك بسرعة متجهة تساوي صفرًا. أوضحنا من قبل أن وزن قافز المظلات الذي قفز يؤثر لأسفل، وهو ما يعني أنه سيبدأ التحرك بعجلة في هذا الاتجاه. بعبارة أخرى، ستبدأ سرعته المتجهة في الزيادة في هذا الاتجاه.

لقد قلنا أيضًا إن مقاومة الهواء تعاكس اتجاه الحركة. وهذا يعني أن مقاومة الهواء، المشار إليها هنا بالحرف ﻡ، ستكون قوة تؤثر رأسيًّا لأعلى. وبما أن هاتين هما القوتان الوحيدتان اللتان تؤثران على قافز المظلات، فيمكننا افتراض أن مرحلة الحركة بأكملها ستحدث في الاتجاه الرأسي. ولن يتحرك قافز المظلات بأي سرعة متجهة أفقية. وبالطبع، يوجد في سياق الحياة الواقعية العديد من العوامل الأخرى، مثل الرياح، وهو ما يعني أن هذه الحالة غير منطبقة. لكننا هنا نتعامل مع نظام مثالي.

حسنًا، المعلومة المهمة التالية لدينا هي أن مقاومة الهواء تتناسب طرديًّا مع السرعة المتجهة. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة ﻡ تتناسب مع ﻉ، وهي السرعة المتجهة. لكن ثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن ﻡ تساوي ثابتًا ما ﺃ في ﻉ. وسيكون ذلك أكثر فائدة في المعادلات التي سنستخدمها.

دعونا الآن نبدأ في تكوين هذه المعادلات. سيكون لقافز المظلات قوة محصلة تؤثر عليه. ونحن نعلم أن القوة المحصلة المؤثرة على أي جسم تساوي كتلته في عجلته الحالية التي يتحرك بها. كما نعرف أيضًا أن القوة المحصلة في النظام لدينا هي ناتج الوزن ومقاومة الهواء. إذا حددنا الاتجاه لأسفل باعتباره الاتجاه الموجب، فيمكننا القول إن القوة المحصلة تساوي ﻭ ناقص ﻡ. دعونا نعبر عنهما بدلالة المعادلتين اللتين كوناهما بالفعل. ‏ﻭ يساوي ﻙﺩ وﻡ تساوي ﺃﻉ. هذا يمكننا من تكوين معادلة أخرى أكثر فائدة. ‏ﻙﺟ تساوي ﻙﺩ ناقص ﺃﻉ.

يرجع السبب في فائدة هذه المعادلة إلى أن المتغيرين المتضمنين هما العجلة والسرعة المتجهة. ويتضمن هذان المتغيران حركة. جميع الحدود المتبقية في هذه المعادلة ثوابت. فلدينا ﻙ وهي كتلة قافز المظلات، وﺩ هي عجلة الجاذبية، وﺃ هو الثابت الذي نحدده لمقاومة الهواء.

في الخطوة التالية، نقسم طرفي المعادلة على ﻙ، وهو ما يمكننا من عزل العجلة في الطرف الأيمن. وهذا يعطينا ﺟ تساوي ﺩ ناقص ﺃ على ﻙ في ﻉ. وسنعرف فائدة ذلك بعد قليل. تمكننا هذه المعادلة من تضمين المعلومة المفيدة التالية المعطاة في السؤال. وهي أن السرعة المتجهة النهائية لقافز المظلات تساوي ٥٥ مترًا لكل ثانية. السرعة المتجهة النهائية هي أقصى سرعة يصل إليها قافز المظلات أثناء مرحلة الحركة. هذا يعني أن سرعته المتجهة ستزداد حتى تصل إلى هذه القيمة، لكنها لن تزيد أكثر من ذلك. وستظل ثابتة. نحن نعلم أنه عندما تكون سرعة الجسم المتجهة ثابتة، فهذا يعني أنه لا يكتسب عجلة. ومن ثم، فإن عجلته تساوي صفرًا. هذا يتيح لنا التعويض ببعض القيم في المعادلة.

عند السرعة المتجهة النهائية، التي سنسميها ﻉ القصوى، ستكون العجلة صفرًا. يخبرنا السؤال أن ﻉ القصوى تساوي ٥٥. إذن يصبح لدينا المعادلة صفر يساوي ﺩ ناقص ﺃ على ﻙ في ٥٥. لمزيد من التوضيح، يمكننا أيضًا التعويض في المعادلتين لدينا بقيمة ﺩ المعلومة، وهي ٩٫٨. وأخيرًا، دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة. سنفعل ذلك؛ بحيث يصبح لدينا الثابتان المجهولان في الطرف الأيمن والقيمتان العدديتان في الطرف الأيسر. لعلنا نلاحظ أننا قد أوجدنا تعويضًا عدديًّا عن هذا الحد ﺃ على ﻙ في المعادلة الأصلية. وبالتعويض بهذه القيمة، نحصل على العجلة تساوي ٩٫٨ ناقص ٩٫٨ على ٥٥ في ﻉ. حسنًا، سنضع القيم المفيدة التي استخدمناها جانبًا ونتابع.

لقد توصلنا الآن إلى النقطة الأساسية في هذه المسألة. حسنًا، يجب أن نتذكر أنه في هذا النظام، وفي العديد من الأنظمة المركبة أيضًا، يمكن اعتبار العجلة والسرعة المتجهة متغيرين يعتمدان على الزمن. بالمضي قدمًا خطوة أخرى، علينا تذكر أن العجلة يمكن اعتبارها معدل التغير في السرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. وباستخدام مصطلحات المعادلات التفاضلية، يمكن كتابة ذلك باختصار على الصورة ﺩﻉ على ﺩﻥ.

قد نلاحظ الآن أننا كونا هنا معادلة تفاضلية. لدينا حد يتضمن السرعة الاعتيادية في الطرف الأيسر. ولكن في الطرف الأيمن، لدينا المشتقة الأولى للسرعة المتجهة بالنسبة إلى الزمن. دعونا نفرغ بعض المساحة لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. لقد كونا معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. ولن نتعمق الآن في تعريف ذلك. لكن هذا الجزء القابل للفصل مهم. وفي هذه الحالة، يعني هذا أنه يمكن التعبير عن المشتقة ﺩﻉ على ﺩﻥ لدينا بدلالة دالة ما لـ ﻉ مضروبة في دالة ما لـ ﻥ.

في المعادلة التي لدينا، نلاحظ أنه لا توجد حدود لـ ﻥ، ومن ثم يجب أن يتحقق هذا الشرط بشكل واضح. مرة أخرى، التفاصيل الكاملة لهذا الجزء خارج نطاق موضوع هذا الفيديو قليلًا، لكنها تمكننا من استخدام الطريقة الآتية. أولًا، سنقسم طرفي المعادلة على ٩٫٨ ناقص ٩٫٨ على ٥٥ﻉ. وفي الواقع، ما نفعله هنا هو نقل الدالة بدلالة ﻉ إلى الطرف الأيمن من المعادلة. في الخطوة التالية في هذه المعادلة، غالبًا ما نستخدم طرقًا تتعامل مع ﺩﻉ على ﺩﻥ على أنه كسر. بعد ذلك نعيد كتابة المعادلة بالطريقة نفسها، ونوجد تكامل طرفي المعادلة بشكل غير واضح. دعونا نتراجع عن القيام بهذه الخطوات ونتبع مسارًا أكثر دقة.

في الخطوة التالية، نوجد تكامل طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﻥ. بعد ذلك، نتذكر أن قاعدة السلسلة تتيح لنا القول إن ﺩﻉ على ﺩﻥ بالنسبة إلى ﺩﻥ يكافئ ﺩﻉ. وبمجرد إجراء التعويض، نصل إلى الخطوة نفسها التي اتبعناها في الاختصار السابق. حسنًا، دعونا الآن نوجد هذين التكاملين. كما يتضح، التكامل في الطرف الأيمن سيصبح مرتبًا بعض الشيء إذا جعلنا المعامل في الحد ﻉ يساوي واحدًا. نفعل ذلك بضرب بسط الكسر ومقامه في ٥٥ على ٩٫٨. يمكننا بعد ذلك أخذ هذه القيمة الثابتة خارج التكامل وتبسيط مقام الكسر. بينما نجري عملية التبسيط، تجدر الإشارة إلى أننا لا نحتاج إلى العدد واحد الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة. فالأكثر شيوعًا هو أن نكتب ببساطة تكامل ﺩﻥ.

حسنًا، دعونا نفرغ بعض المساحة مع الحفاظ على المعادلات التفاضلية الأصلية لدينا؛ لأن هذه خطوة مهمة. نتابع الآن حل هذين التكاملين. قد تتمكن من حل التكامل الموجود على اليمين مباشرة، لكن لإكماله، فإننا نعوض عن ﻉ صفر بشكل أسرع. وهذا يعطينا ﻉ صفر يساوي ٥٥ ناقص ﻉ. يمكننا المضي قدمًا وقول إن ﺩﻉ صفر يساوي سالب ﺩﻉ، أو على نحو مكافئ سالب ﺩﻉ صفر يساوي ﺩﻉ. عند إجراء عمليات التعويض هذه، يجب الحرص على عدم نسيان هذا الحد السالب الذي وضع أمام التكامل مع الحد الثابت. بعد القيام بذلك، يتبقى لدينا التكامل واحد على ﻉ صفر بالنسبة إلى ﻉ صفر. وهذه نتيجة قياسية.

وبالطبع، يمثل الناتج اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ صفر. سنعوض الآن بـ ٥٥ ناقص ﻉ عن ﻉ صفر. لاحظ أن الطرف الأيسر من المعادلة لدينا هو عملية حسابية بديهية. تكامل ﺩﻥ يعطينا ﻥ. ولعلك تلاحظ أيضًا أنه في طرفي المعادلة، لم ننس ثابت التكامل ﺙ. وبما أن هذين ثابتان اختياريان، فيمكننا بسهولة تجميعهما بقولنا إن ثابتًا آخر، ﺙ ثلاثة، يساوي ﺙ واحد ناقص ﺙ اثنين. بطرح ﺙ اثنين من كلا الطرفين، نحصل على النتيجة الموضحة. سالب ٥٥ على ٩٫٨ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٥٥ ناقص السرعة المتجهة زائد ثابت يساوي الزمن.

عند هذه المرحلة، نكون قد توصلنا إلى الحل العام للمعادلة التفاضلية لدينا. لكن علينا إيجاد الحل الخاص بهذه الحالة المحددة. وسنفعل ذلك بإيجاد قيمة ﺙ ثلاثة. ويمكن تحقيق ذلك بالتفكير في شرط حدي ضمني أو شرط ابتدائي معطى في السؤال. تذكر أن السرعة المتجهة هي متغير يعتمد على الزمن. لكن السؤال يخبرنا بأن قافز المظلات قفز بالمظلة من طائرة ثابتة. هذا يعني أنه عند الزمن صفر، يكون قافز المظلات الذي قفز بالمظلة ثابتًا أيضًا. بعبارة أخرى، سرعته المتجهة تساوي صفرًا.

هذا يتيح لنا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا وﻉ تساوي صفرًا في المعادلة. رائع، يمكننا الآن إعادة ترتيب ذلك. ونجد أن الثابت ﺙ ثلاثة يساوي ٥٥ على ٩٫٨ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٥٥. عند تجميع ذلك معًا عن طريق التعويض بهذه القيمة في المعادلة الأصلية، نحصل على الحل الخاص بهذه المعادلة التفاضلية. دعونا نبدل بعض الحدود ونكتب المعادلة بدلالة ﻥ؛ لأن هذا هو ما نريد إيجاده في النهاية. هذا رائع. بذلك يصبح لدينا معادلة للزمن بدلالة السرعة المتجهة فقط. يمكننا ترتيب الحدود قليلًا باستخدام العامل المشترك أولًا، ثم باستخدام قوانين اللوغاريتمات.

ننتقل الآن إلى الخطوة النهائية، حيث يطلب منا السؤال معرفة الزمن الذي يستغرقه قافز المظلات للوصول إلى سرعة ٥٤ مترًا لكل ثانية. وبما أن قافز المظلات يتحرك في بعد واحد فقط واتجاهه لا يتغير، فيمكننا ببساطة اعتبار أن العدد ٥٤ هو مقدار سرعته المتجهة. السؤال إذن هو: ما قيمة ﻥ عند ﻉ تساوي ٥٤؟ يمكننا إيجاد ذلك باستخدام معادلة ﻥ التي لدينا بدلالة السرعة المتجهة. سنعوض بقيمة ﻉ تساوي ٥٤، ثم نبسط، ونتوصل إلى الإجابة.

وأخيرًا، نعلم أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. وبما أن السرعة المتجهة معطاة بالمتر لكل ثانية، سيكون الزمن بالثواني. إذن، الإجابة هي أن الزمن الذي يستغرقه قافز المظلات يساوي ٢٢٫٥ ثانية تقريبًا لتصل سرعته إلى ٥٤ مترًا لكل ثانية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.