تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: خصائص الضرب القياسي للمصفوفات

نهال عصمت

يوضِّح الفيديو الخصائص المختلفة للضرب القياسي للمصفوفات، وهي خاصية (الانغلاق، والدمج في عملية الضرب، والتوزيع، والمحايد الضربي، والضرب في صفر).

٠٦:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

خصائص الضرب القياسي للمصفوفات.

هنبدأ نتعرَّف على خصائص الضرب القياسي للمصفوفات. وهنفتكر الضرب القياسي للمصفوفات. أول خاصية هنتكلّم عنها هي خاصية الانغلاق. بمعنى لو عندنا أ مصفوفة تساوي … عناصر الصفّ الأول هي سالب واحد وتلاتة واتنين. وعناصر الصفّ التاني أربعة وصفر وواحد. وعندنا ج عدد ثابت يساوي تلاتة. لو عايزين نوجد حاصل ضرب ج في المصفوفة أ، هيساوي تلاتة في … عناصر المصفوفة أ عناصر الصفّ الأول سالب واحد وتلاتة واتنين، وعناصر الصفّ التاني أربعة وصفر وواحد. لمَّا نيجي نضرب عدد في مصفوفة، بنضرب العدد في كل عنصر من عناصر المصفوفة. وهو ده الضرب القياسي للمصفوفات.

وبالتالي هيساوي … المصفوفة عناصر الصفّ الأول سالب تلاتة وتسعة وستة، وعناصر الصفّ التاني اتناشر وصفر وتلاتة. هنلاحظ إن نظم المصفوفة أ هو اتنين في تلاتة، اللي هو عدد الصفوف في عدد الأعمدة. وهنلاحظ إن ناتج الضرب برضو مصفوفة على النظم اتنين في تلاتة. وبالتالي نقدر نقول: إن ج أ ستكون على نفس نظم أ، اللي هو على النظم اتنين في تلاتة. عايزين نكتبها بصورة عامَّة، يبقى نقدر نقول: إن ج أ ستكون على النظم م في ن، اللي هو نظم المصفوفة أ.

تاني خاصية هنتكلّم عنها هي خاصية الدمج في عملية الضرب. بمعنى لو عندنا المصفوفة أ تساوي … عناصر الصفّ الأول سالب واحد وتلاتة واتنين، وعناصر الصفّ التاني أربعة وصفر وواحد. وعندنا ج عدد ثابت يساوي تلاتة. وَ د عدد ثابت يساوي أربعة. خاصية الدمج في عملية الضرب بتقول: إن لو عندنا ج في د في أ، ممكن الأول نضرب ج في د، بعد كده نضرب في المصفوفة أ. أو ممكن نضرب د في المصفوفة أ، بعد كده نضربها في ج.

عايزين نثبت الكلام ده. عندنا ج في د تلاتة في أربعة باتناشر. هنبدأ نضربها في المصفوفة أ. هيبقى عندنا المصفوفة عناصر الصفّ الأول سالب اتناشر وستة وتلاتين وأربعة وعشرين. وعناصر الصفّ التاني تمنية وأربعين وصفر واتناشر. بعد كده هنبدأ نضرب د في المصفوفة أ. بعد كده نضرب الناتج في الناتج، اللي هو هيطلع مصفوفة، هنضربها في العدد الثابت اللي هو ج. هيطلع عندنا المصفوفة عناصر الصفّ الأول سالب اتناشر وستة وتلاتين وأربعة وعشرين. وعناصر الصفّ التاني تمنية وأربعين وصفر واتناشر. هنلاحظ إن المصفوفة الأولى بتساوي المصفوفة التانية. وكده قدرنا نثبت خاصية الدمج في عملية الضرب.

تالت خاصية هنبدأ نتكلّم عنها هي خاصية التوزيع. بمعنى لو عندنا المصفوفة أ تساوي … عناصر الصفّ الأول سالب واحد وتلاتة واتنين، وعناصر الصفّ التاني أربعة وصفر وواحد. وعندنا المصفوفة ب عناصر الصفّ الأول اتنين وسالب واحد وصفر. وعناصر الصفّ التاني تلاتة وواحد وأربعة. وعندنا ج عدد ثابت يساوي تلاتة. خاصية التوزيع هي: لو عندنا ج مضروبة في حاصل جمع المصفوفة أ زائد المصفوفة ب هي نفسها لو ضربنا ج في أ بعد كده جمعنا عليها ج في ب. يبقى ج مضروبة في، أ زائد ب هتساوي ج أ زائد ج في ب.

عايزين نثبت الكلام ده. هنجمع الأول المصفوفة أ زائد المصفوفة ب، هيبقى عندنا المصفوفة عناصر الصفّ الأول واحد واتنين واتنين، وعناصر الصفّ التاني سبعة وواحد وخمسة. هنضربها في العدد الثابت اللي هو ج؛ بتلاتة. هنبدأ نضرب التلاتة في كل عنصر من عناصر المصفوفة. هيبقى عندنا المصفوفة عناصر الصفّ الأول تلاتة وستة وستة، وعناصر الصفّ التاني واحد وعشرين وتلاتة وخمستاشر.

هنيجي على الجزء التاني من المعادلة. هنبدأ نضرب ج في المصفوفة أ، بعد كده نجمعها على ج في المصفوفة ب. هيبقى عندنا ج في أ هتبقى المصفوفة عناصر الصفّ الأول سالب تلاتة وتسعة وستة، وعناصر الصفّ التاني اتناشر وصفر وتلاتة. زائد … ج عايزين نضربها في المصفوفة ب. هيبقى عندنا عناصر الصفّ الأول ستة وسالب تلاتة وصفر. وعناصر الصفّ التاني تسعة وتلاتة واتناشر. هنبدأ نجمع المصفوفتين. هيبقى عندنا المصفوفة عناصر الصفّ الأول تلاتة وستة وستة. وعناصر الصفّ التاني واحد وعشرين وتلاتة وخمستاشر. هنلاحظ إن المصفوفة الأولى تساوي المصفوفة التانية.

يبقى كده قدرنا نثبت خاصية التوزيع. يبقى ممكن نوزّع عدد ثابت على حاصل ضرب، عفوًا، على حاصل جمع مصفوفتين. وممكن برضو إن إحنا نستخدم خاصية التوزيع في إننا نوزّع مصفوفة على حاصل جمع عددين. يعني ممكن نعمل ج أ زائد ج، عفوًا، زائد د أ. وبكده اتكلّمنا عن خاصية التوزيع.

الخاصية اللي بعد كده هي خاصية المحايد الضربي. بمعنى لو ضربنا واحد في مصفوفة أ، يبقى واحد أ، هيساوي هي نفسها المصفوفة أ. بمعنى لو ضربنا واحد في كل عنصر من عناصر المصفوفة، هنلاحظ إن المصفوفة مش هتتغيّر. يبقى عندنا نفسها المصفوفة أ.

آخر خاصية هنتكلِّم عنها هي خاصية الضرب في صفر. يعني لو عايزين نضرب صفر في المصفوفة أ، ولْيكُن عناصرها هي: عناصر الصفّ الأول سالب واحد وتلاتة واتنين، وعناصر الصفّ التاني أربعة وصفر وواحد. هنبدأ نضرب صفر في كل عنصر من عناصر المصفوفة. هنلاحظ إن هيبقى عندنا مصفوفة كل عناصرها صفر. نقدر نسمّي المصفوفة دي هي مصفوفة صفرية. وبالتالي نقدر نقول: صفر في أيّ مصفوفة، يعني مثلًا صفر في المصفوفة أ، هيساوي مصفوفة صفرية.

وبكده نكون اتعرّفنا على خصائص الضرب القياسي للمصفوفات.