فيديو السؤال: إيجاد معكوس مصفوفة باستخدام خواص المحددات الرياضيات

لدينا المصفوفة: (١‎، ٠‎، ٣; ١‎، ٠‎، ١; ٣‎، ١‎، ٠). حدد إذا ما كانت المصفوفة لها معكوس بتحديد إذا ما كان المحدد لا يساوي صفرًا. إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، فأوجد المعكوس مستخدمًا صيغة المعكوس التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة.

٠٥:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

انظر المصفوفة. حدد إذا ما كانت المصفوفة لها معكوس بتحديد إذا ما كان المحدد لا يساوي صفرًا. إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، فأوجد المعكوس مستخدمًا صيغة المعكوس التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة.

لإيجاد قيمة محدد أي مصفوفة، يمكننا استخدام الصيغة الموضحة. نحن نعرف أن محدد هذه المصفوفة يساوي ﺃ في ﻫﻁ ناقص ﻭﺡ ناقص ﺏ في ﺩﻁ ناقص ﻭﺯ زائد ﺟ في ﺩﺡ ناقص ﺯﻫ. دعونا نسم المصفوفة المعطاة في السؤال ﺃ. علينا إيجاد قيمة محدد ﺃ. وباستخدام صيغة المحدد، نجد أن محدد ﺃ يساوي واحدًا مضروبًا في صفر في صفر ناقص واحد في واحد ناقص صفر مضروبًا في واحد في صفر ناقص واحد في ثلاثة زائد ثلاثة مضروبًا في واحد في واحد ناقص ثلاثة في صفر.

لدينا هنا عدة قيم مضروبة في صفر. وأي قيمة مضروبة في صفر تساوي صفرًا. لذا، عند جمع هذه القيمة أو طرحها، فلن يكون لها أي تأثير. ومن ثم، يمكن حذف أي قيمة مضروبة في صفر. وبذلك يتبقى لدينا واحد في سالب واحد زائد ثلاثة في واحد. وهذا يساوي سالب واحد زائد ثلاثة، ما يعطينا اثنين. ومن ثم، المحدد لا يساوي صفرًا. إذن، المصفوفة لها معكوس.

دعونا أولًا نتذكر أن صيغة معكوس المصفوفة التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة تنص على أن معكوس المصفوفة يساوي واحدًا على محدد المصفوفة مضروبًا في مصفوفة العوامل المرافقة. وبما أننا أوجدنا بالفعل قيمة محدد ﺃ، فعلينا فقط إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة لـ ﺃ. ولكي نفعل ذلك، علينا أولًا إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى لـ ﺃ، والتي سنسميها ﺃﻡ. لإيجاد كل عنصر في مصفوفة المحددات الصغرى، نحذف الصف والعمود للعنصر المقابل في المصفوفة الأصلية، ونوجد محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية.

نبدأ بالعنصر الموجود أعلى اليسار في ﺃﻡ، نحذف الصف الأول والعمود الأول في ﺃ. وبذلك يكون العنصر الأول في مصفوفة المحددات الصغرى هو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية، والذي يبدو بهذا الشكل. بالنسبة للعنصر الثاني، نحذف الصف الأول والعمود الثاني. ويكون العنصر هو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية، والذي يبدو بهذا الشكل. بالنسبة للعنصر الثالث، نحذف الصف الأول والعمود الثالث ليتبقى لدينا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ويكون العنصر الثالث في مصفوفة المحددات الصغرى هو محددها. نواصل فعل ذلك لكل عنصر في مصفوفة المحددات الصغرى. وهذا هو ما يتبقى لدينا.

يمكننا استخدام الصيغة الموضحة لإيجاد قيم هذه المحددات. نحن نعرف أن محدد المصفوفة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ‎‎ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. ومن ثم، العنصر الأول في مصفوفة المحددات الصغرى هذه يساوي صفرًا في صفر ناقص واحد في واحد، وهو ما يساوي سالب واحد. العنصر الثاني يساوي واحدًا في صفر ناقص واحد في ثلاثة، وهو ما يعطينا سالب ثلاثة. العنصر الثالث يساوي واحدًا في واحد ناقص صفر في ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا. يمكننا الاستمرار بهذه الطريقة لإيجاد بقية عناصر المصفوفة. وبهذا نكون قد أوجدنا مصفوفة المحددات الصغرى.

لكي نحصل على مصفوفة العوامل المرافقة من مصفوفة المحددات الصغرى هذه، علينا فقط تغيير بعض الإشارات في مصفوفة المحددات الصغرى. تمثل هذه المصفوفة الإشارات التي يجب تغييرها في مصفوفة المحددات الصغرى؛ لكي تصبح مصفوفة العوامل المرافقة. علينا هنا تغيير إشارات سالب ثلاثة، وسالب ثلاثة، وواحد، وسالب اثنين. وهذا يعطينا أن مصفوفة العوامل المرافقة لـ ﺃ أو ﺃﺟ تساوي سالب واحد، ثلاثة، واحد، ثلاثة، سالب تسعة، سالب واحد، صفر، اثنين، صفر.

والآن بعد أن أصبح لدينا مصفوفة العوامل المرافقة لـ ﺃ، يمكننا إيجاد معكوس ﺃ. باستخدام صيغة معكوس المصفوفة، نجد أن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على اثنين مضروبًا في مصفوفة العوامل المرافقة التي أوجدناها للتو. إذن، هذا هو حل المسألة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.