فيديو السؤال: إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين معلومتين في فضاء ثلاثي الأبعاد في الصورة البارامترية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

اكتب معادلة الخط المستقيم ﻝ المار بالنقطتين ﺃ واحد يساوي أربعة، وواحد، وخمسة، وﺃ اثنان يساوي سالب اثنين، واحد، ثلاثة في الصورة البارامترية.

عندما تمثل الإحداثيات الكارتيزية لمنحنى أو سطح ما على صورة دوال لنفس المتغير، عادة ما يكون ﻙ، فإنها تسمى المعادلات البارامترية. ومن ثم، فإن المعادلات البارامترية في المستوى ﺱﺹ يشار إليها بـ ﺱ يساوي ﺩﻙ، وﺹ يساوي ﺭﻙ، وﻉ يساوي ﻕﻙ. توضح لنا هذه المعادلات بشكل أساسي الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ للمنحنى، بمعلومية قيمة محددة لـ ﻙ. قد يكون من المفيد تذكر المعادلة المتجهة لخط مستقيم واستخدامها لإيجاد المعادلة البارامترية.

بالنسبة إلى أي خط مستقيم يمر بنقطة ذات متجه موضع ﺃ في متجه اتجاه ﻫ، تكون المعادلة المتجهة ﺭ يساوي ﺃ زائد ﻫ في ﻙ حيث يمكن أن يأخذ ﻙ قيمًا من سالب ∞ إلى ∞. لنكتب إذن المعادلة المتجهة للخط المستقيم ﻝ. نحن نعلم أنه يمر بالنقطة ﺃ واحد. والنقطة ﺃ واحد لها متجه موضع يساوي أربعة، واحد، خمسة. تذكر أن هذا هو العامل الذي ينقلنا من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ واحد.

لكن ماذا عن متجه الاتجاه؟ حسنًا، يمكن إيجاد متجه الاتجاه بالانتقال من النقطة ﺃ واحد إلى النقطة ﺃ اثنين، بإيجاد المتجه ﺃ واحد ﺃ اثنين. ويمكن إيجاد ذلك بطرح المتجه ﻭﺃ واحد من ﻭﺃ اثنين. أي سالب اثنين، واحد، ثلاثة ناقص أربعة، واحد، خمسة. يمكننا إيجاد المتجه ﺃ واحد ﺃ اثنين بطرح العناصر المنفردة. ومن ثم، نحصل على سالب ستة وصفر وسالب اثنين. إذن، في صورة متجه العمود، نجد أن المعادلة المتجهة للخط المستقيم ﻝ هي أربعة، واحد، خمسة زائد سالب ستة، صفر، سالب اثنين ﻙ.

سنكتب الآن ﺭ في صورة متجه عمود. وهكذا سنتمكن من معرفة ما علينا فعله بعد ذلك. سنكتبه في صورة ﺱ، ﺹ، ﻉ. ثم نوزع المتجه الثاني بضرب كل مركبة على حدة في ﻙ. ثم نوجد مجموع المركبات ﺱ، ﺹ، ﻉ. إذن، لدينا ﺱ، ﺹ، ﻉ يساوي أربعة ناقص ستة ﻙ وواحد زائد صفر ﻙ وخمسة ناقص اثنين ﻙ. وبالطبع، يمكننا كتابة المركبة ﺹ في صورة واحد ببساطة.

والآن، من المفترض أننا قادرون على تحديد ما علينا فعله بعد ذلك. نحن نعلم أنه لكي يكون هذان المتجهان متساويين، يجب أن تكون مركباتهما المنفردة متساوية. وهذا يعني أن ﺱ يجب أن يساوي أربعة ناقص ستة ﻙ. ويجب أن يكون ﺹ مساويًا لواحد. وﻉ يساوي خمسة ناقص اثنين ﻙ لقيم ﻙ الأكبر من سالب ∞ والأقل من ∞. تذكر أننا كنا نتوقع أن تكون المعادلات عبارة عن ﺱ يساوي دالة ما لـ ﻙ. ‏ﺹ يساوي دالة ما لـ ﻙ. ‏ﻉ يساوي دالة أخرى لـ ﻙ. لقد حققنا ذلك بالفعل. وبذلك نكون قد كتبنا معادلة الخط المستقيم ﻝ على الصورة البارامترية.

إنها ﺱ يساوي أربعة ناقص ستة ﻙ، ﺹ يساوي واحدًا، ﻉ يساوي خمسة ناقص اثنين ﻙ لقيم ﻙ الأكبر من سالب ∞ والأصغر من ∞.