فيديو: حل المسائل الكلامية عن طريق جمع كميات ممثلة بمتجهات بصورة المقدار والاتجاه

بدأت سيدة في المشي من منزلها وقطعت مسافة 6 أميال بزاوية قياسها ‪40°‬‏ في اتجاه شمال الشرق، ثم قطعت مسافة ميلين بزاوية قياسها ‪15°‬‏ في اتجاه شرق الجنوب، ثم قطعت مسافة 5 أميال بزاوية ‪30°‬‏ في اتجاه جنوب الغرب. إذا سارت السيدة في خط مستقيم عائدة إلى المنزل، فما مقدار المسافة التي تسيرها؟ وفي أي اتجاه؟ اذكر المسافة بالميل لأقرب منزلتين عشريتين، والاتجاه بالدرجات لأقرب منزلة عشرية واحدة.

٠٩:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

بدأت سيدة في المشي من منزلها وقطعت مسافة ستة أميال بزاوية قياسها 40 درجة في اتجاه شمال الشرق، ثم قطعت مسافة ميلين بزاوية قياسها 15 درجة في اتجاه شرق الجنوب، ثم قطعت مسافة خمسة أميال بزاوية 30 درجة في اتجاه جنوب الغرب. إذا سارت السيدة في خط مستقيم عائدة إلى المنزل، فما مقدار المسافة التي تسيرها، وفي أي اتجاه؟ اذكر المسافة بالميل لأقرب منزلتين عشريتين والاتجاه بالدرجات لأقرب منزلة عشرية واحدة.

سيكون من الأفضل تمثيل هذا السيناريو بيانيًا. بدأت السيدة المشي من المنزل الذي سنمثله بنقطة. ومن هنا، قطعت مسافة ستة أميال بزاوية 40 درجة شمال الشرق. هذه كمية متجهة. لدينا في المعطيات المقدار، ستة أميال، والاتجاه، 40 درجة شمال الشرق. وبما أننا حددنا الاتجاه استنادًا إلى البوصلة، فمن الجيد رسم البوصلة في الشكل. من المنزل، هذا الاتجاه هو الشرق. إذن، الاتجاه هو 40 درجة شمال الشرق. وسيكون مقدار هذا المتجه ستة أميال. بعد السير ستة أميال بزاوية 40 درجة باتجاه شمال الشرق، وصلت إلى نهاية المتجه عند نقطة النهاية. لكنها لم تتوقف هناك، إذ استمرت في السير مسافة ميلين بزاوية 15 درجة باتجاه شرق الجنوب. نرسم اتجاه الجنوب. ثم نمثل الإزاحة التي مقدارها ميلين بزاوية 15 درجة باتجاه شرق الجنوب بالمتجه البرتقالي اللون. ثم سارت مسافة خمسة أميال بزاوية 30 درجة باتجاه جنوب الغرب. وأخيرًا، استقرت عند نقطة نهاية المتجه الأزرق هنا.

السؤال هو كيف ستصل إلى المنزل؟ في أي اتجاه عليها أن تسير وكم المسافة التي ستقطعها؟ رسمت جميع المتجهات في الشكل بحيث يلامس ذيل المتجه رأس المتجه السابق له. وهذا يعطينا تلميحًا أننا نتعامل مع مسألة جمع متجهات. الإزاحة النهائية للسيدة من المنزل، عندما بدأت تتساءل كيف ستعود، هي مجموع متجهات الإزاحة الأرجواني والبرتقالي والأزرق. مهمتنا هي إيجاد المتجه الأخضر الذي يرجعها إلى المنزل ومن ثم يجعل إزاحتها بدءًا من المنزل ممثلة بمتجه صفري. دعنا نركز أولًا على إيجاد هذا المجموع.

لإيجاد هذا المجموع، نكتب كل متجه في هذا المجموع في الصورة الإحداثية. هيا نسم هذه المتجهات ببعض الأسماء لنسهل الأمر على أنفسنا. لنسمها 𝑈 و𝑉 و𝑊. إذن المجموع هو 𝑈 زائد 𝑉 زائد 𝑊. أولًا، لنجد 𝑈 في الصورة الإحداثية. نعرف كيف نفعل ذلك، بمعلومية مقدار المتجه والقياس 𝜃 للزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من المتجه 𝑖. أولًا علينا أن نقرر الاتجاهات التي سيشير إليها متجها الوحدة 𝑖 و𝑗. نختار أن يشير 𝑖 إلى الشرق و𝑗 إلى الشمال، وهو المعتاد. بهذا نكون جاهزين للتعويض. مقدار 𝑈 يساوي ستة. وقيمة 𝜃، الاتجاه المقيس عكس اتجاه عقارب الساعة من الشرق، هي 40 درجة. إذن لدينا هنا مركبتا 𝑈. دعونا نفرغ بعض المساحة ونفعل الشيء نفسه مع 𝑉.

نكتب الصيغة بدلالة مقدار 𝑉 و𝜃، أي قياس الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الشرق. مقدار 𝑉 يساوي اثنين. لكن ما قيمة 𝜃؟ قد نميل للقول إن 𝜃 تساوي 15 درجة لأن هذه هي القيمة التي نراها مكتوبة. يجب أن تقاس 𝜃 عكس اتجاه عقارب الساعة من المتجه 𝑖. وبما أن 𝑖 يشير إلى الشرق، فهذا يعني عكس اتجاه عقارب الساعة من الشرق. لقد كنا محظوظين وحسب مع 𝑈 لأن الزاوية المحددة كانت بالفعل مقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الشرق، كما هو مطلوب. أما بالنسبة للمتجه 𝑉، فلسوء الحظ علينا أن نقوم ببعض الخطوات الإضافية. لنحدد اتجاه الشرق من النقطة الابتدائية ونحدد الزاوية التي نريدها، والتي نسميها 𝜑. بالنظر إلى الزوايا المحيطة بالنقطة الابتدائية، نلاحظ أن 𝜑 زائد 15 درجة يجب أن يساوي 90 درجة لأن الزاوية بين الشرق والجنوب تساوي 90 درجة. ومن ثم، 𝜑 تساوي 75 درجة. لكن 𝜃 قيست عكس اتجاه عقارب الساعة من الشرق. ونرى أن لدينا زاوية 75 درجة في اتجاه عقارب الساعة من الشرق. إذن 𝜃 تساوي سالب 75 درجة. ونعوض بهذه القيمة. علينا إفراغ بعض المساحة مرة أخرى وإيجاد مركبتي 𝑊.

مرة أخرى، مقدار 𝑊 هو الجزء السهل. معلوم لدينا في المعطيات أنه يساوي خمسة. أما الجزء الصعب، فهو التأكد من أننا نقيس 𝜃 بالطريقة الصحيحة. مرة أخرى، نحدد اتجاه الشرق من النقطة الابتدائية. نرى أن 𝜑 مقيسة في اتجاه عقارب الساعة من الشرق لأنها تكمل الزاوية 30 درجة المحددة. إذن 𝜃، التي تقاس عكس اتجاه عقارب الساعة، تساوي سالب 150 درجة. بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا التحرك في الاتجاه الآخر حول الدائرة وإضافة 180 درجة إلى 30 درجة. وبذلك نحصل على 210 درجات. كلتا الطريقتين صحيحتان. وكلتاهما تعطي مركبتي 𝑊 نفسيهما.

الآن لدينا مركبات 𝑈 و𝑉 و𝑊. ويمكننا إيجاد مجموعها عن طريق جمع المركبات. نجمع مركبات 𝑥 للمتجهات باستخدام الآلة الحاسبة على وضع الدرجات لإيجاد مركبة 𝑥 للمتجه النهائي وهي 0.783777 إلى آخر العدد. وبالمثل، نجمع مركبات 𝑦 للمتجهات لإيجاد مركبة 𝑦 للإزاحة النهائية وهي سالب 0.575125 إلى آخر العدد. لكي تعود السيدة إلى المنزل من موضعها النهائي، عليها السير في الاتجاه المقابل. إذن نريد المتجه الأخضر الذي نبحث عنه ليكون المعكوس الجمعي لهذه الإزاحة النهائية. وبناء عليه، فإن الإزاحة التي عليها أن تسيرها للوصول إلى المنزل تساوي سالب 0.78377 إلى آخر العدد، 0.575125 إلى آخر العدد. كل مركبة هي عكس المركبة الموجودة في الإزاحة النهائية. يمكنك التحقق من أن مجموع 𝑈 و𝑉 و𝑊 وهذا المتجه الأخضر يساوي صفرًا. إذن، إذا سارت في هذا المسار، فستعود من حيث بدأت.

كدنا أن ننتهي الآن. لقد حسبنا الإزاحة التي عليها أن تسيرها لتصل إلى المنزل. لكننا نريد هذه الإزاحة بدلالة المسافة التي تسيرها بالميل والاتجاه بالدرجات. بمعنى آخر، نريد أن نأخذ المتجه، الذي لدينا في الصورة الإحداثية، ونكتبه في صورة المقدار والاتجاه. لقد أخليت بعض المساحة لحساب ذلك. المسافة التي نبحث عنها هي مقدار متجه الإزاحة هذا. ونعرف كيف نجد مقدار هذا المتجه. إنه الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين.

بالتعويض بالمركبتين في هذه الصيغة، وبالتأكيد باستخدام الدقة الكاملة حتى ستة منازل عشرية بدلًا من المنزلتين اللتين كتبتهما هنا، نحصل على 0.97 بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب. وبالطبع، جميع الكميات لدينا بوحدة الميل. وبالتالي، هذه مسافة بالميل.

والآن علينا إيجاد الاتجاه. وأسهل طريقة لذلك هي استخدام مركبتي المتجه لرسم شكل دقيق له. إذا وضعنا النقطة الابتدائية هنا، فإن مركبة 𝑥 تخبرنا أن نقطة النهاية هي سالب 0.783777 إلى آخر العدد وحدة إلى اليمين، أو ما يكافئ 0.783777 وحدة إلى يسار النقطة الابتدائية. ومركبة 𝑦 تخبرنا أن نقطة النهاية هي 0.575125 إلى آخر العدد وحدة فوق النقطة الابتدائية. ومن ثم، يمكننا تحديد نقطة النهاية ورسم المتجه. تذكر أننا نبحث عن اتجاه المتجه. يمكننا أن نرى أن هذا الاتجاه يساوي 𝜃 باتجاه شمال الغرب، حيث توجد 𝜃.

السؤال الوحيد الآن هو ما قيمة 𝜃؟ حسنًا، لحسن الحظ، لدينا مثلث قائم الزاوية. وفي هذا المثلث القائم الزاوية، 𝑡𝑎𝑛 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. ويمكننا استخدام دالة الظل العكسية على الآلة الحاسبة، مع التأكد من أنها على وضع الدرجات أولًا، لإيجاد قيمة 𝜃. فنجد أن 𝜃 تساوي 36.3 درجة بالتقريب إلى منزلة عشرية واحدة. إذن الاتجاه يساوي 36.3 درجة تقريبًا باتجاه شمال الغرب.

وبوضع ذلك كله معًا، نتوصل إلى إجابتنا النهائية. وهي أنه لكي تصل السيدة إلى منزلها، عليها أن تسير 0.97 ميل بزاوية 36.3 درجة باتجاه شمال الغرب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.