نسخة الفيديو النصية
أوجد معكوس المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ﻫ أس ﻥ، جتا ﻥ، جا ﻥ، وﻫأس ﻥ; −جا ﻥ، جتا ﻥ، وﻫ أس ﻥ، −جتا ﻥ، −جا ﻥ
في هذا السؤال، لدينا مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، ومطلوب منا إيجاد معكوس هذه المصفوفة. وعندما يطلب منا إيجاد معكوس مصفوفة، فهذا يعني المعكوس الضربي لهذه المصفوفة. لدينا بعض الطرق المختلفة لفعل ذلك. في هذا الفيديو، سوف نستخدم طريقة المصفوفة الملحقة. لنبدأ إذن بتذكر الخطوات التي علينا تنفيذها لإيجاد معكوس المصفوفة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. ولتسهيل الأمور، سنسمي المصفوفة المعطاة في السؤال بالمصفوفة ﺃ.
نتذكر أنه توجد خمس خطوات لإيجاد معكوس المصفوفة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. أولًا، علينا التحقق من أن محدد المصفوفة لا يساوي صفرًا. وهذا لأنه إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإن المصفوفة تكون غير قابلة للعكس. وأيضًا لأننا سنحتاج إلى استخدام هذا المحدد لاحقًا لإيجاد المعكوس. الخطوة الثانية هي إيجاد محددات جميع المصفوفات الصغرى في المصفوفة ﺃ. والممثلة بـ ﺃﺱﺹ. وتذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃﺱﺹ هي المصفوفة التي نحصل عليها بحذف الصف ﺱ والعمود ﺹ من المصفوفة ﺃ. الخطوة الثالثة هي تكوين مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ.
نحصل على العنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ في مصفوفة العوامل المرافقة لـ ﺃ بضرب سالب واحد أس ﺱ زائد ﺹ في محدد مصفوفة العوامل المرافقة ﺃﺱﺹ. الخطوة الرابعة هي تكوين المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. ونفعل ذلك بإيجاد مدور مصفوفة العوامل المرافقة. وتذكر أنه لإيجاد مدور المصفوفة، علينا تبديل الصفوف والأعمدة. وأخيرًا، يمكننا تكوين معكوس المصفوفة للمصفوفة ﺃ عن طريق ضرب المصفوفة الملحقة لـ ﺃ في واحد مقسومًا على محدد ﺃ.
إذن، لإيجاد المعكوس، دعونا نطبق هذه الخطوات الواحدة تلو الأخرى. هيا نبدأ بإيجاد قيمة محدد المصفوفة ﺃ. علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة ﺃ التي من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. نلاحظ أن هذه مصفوفة تبدو معقدة للغاية، وتوجد بضعة خيارات مختلفة يمكننا استخدامها. إذا أردنا فعل ذلك عن طريق الفك باستخدام الصف أو العمود، فإننا نفعل ذلك عادة بإيجاد الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. لكن هذه المصفوفة لا تحتوي على أي أصفار. بدلًا من ذلك، علينا أن نلاحظ أن جميع القيم المدخلة الثلاث في العمود الأول متماثلة. ولذا، إذا قمنا بالفك باستخدام هذا العمود، فسيكون لدينا عامل مشترك يمكن إخراجه. ولذا، سنوجد قيمة هذا المحدد بالفك باستخدام العمود الأول.
لنبدأ بالعنصر الأول في العمود الأول. علينا ضرب هذا العنصر في محدد المصفوفة الصغرى الذي نحصل عليه بحذف الصف الأول والعمود الأول. ولا تنس أننا نحصل أيضًا على معامل سالب واحد أس رقم الصف زائد رقم عمود العنصر المدخل الذي نفك باستخدامه. في هذه الحالة، نفك باستخدام العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الأول. ولذا، نحصل على المعامل سالب واحد أس واحد زائد واحد. ثم علينا تكرار الخطوة نفسها مع العنصر المدخل الثاني في العمود. أي نريد ضربه في محدد المصفوفة الصغرى الذي نحصل عليه بحذف العمود الأول والصف الثاني.
ولا تنس أننا نريد أيضًا ضرب ذلك في سالب واحد أس رقم الصف زائد رقم عمود العنصر المدخل الذي نفك باستخدامه. وهو في هذه الحالة، العمود الأول في الصف الثاني. وعلينا فعل ذلك مرة أخرى مع العنصر المدخل الأخير في العمود. فعلينا الآن ضرب هذا العنصر في محدد المصفوفة الصغرى الذي نحصل عليه بحذف العمود الأول والصف الثالث. وبالطبع، لا يزال علينا ضرب ذلك في سالب واحد أس رقم العمود زائد رقم صف العنصر المدخل الذي نفك باستخدامه. وهو، في هذه الحالة، العنصر المدخل الموجود في العمود الأول، الصف الثالث. وهذا يعطينا المقدار التالي لمحدد المصفوفة ﺃ.
ويمكننا البدء بتبسيط إشارة كل حد من الحدود الثلاثة. فلدينا واحد، وسالب واحد، وواحد، على الترتيب. وهذا يعطينا التعبير التالي. بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا إخراج العامل المشترك ﻫ أس ﻥ. وهذا يعطينا التعبير التالي. والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة تلك المحددات الثلاثة من رتبة اثنين في اثنين. وكي نفعل ذلك، علينا تذكر أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. حيث نوجد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. ويمكننا البدء بتطبيق هذا على الحد الأول. لنحصل على سالب جا ﻥ مضروبًا في سالب جا ﻥ ناقص جتا ﻥ مضروبًا في سالب جتا ﻥ. وبدلًا من الاستمرار، يمكننا تبسيط هذا المقدار الآن. إذ يمكن تبسيطه ليصبح لدينا جا تربيع ﻥ زائد جتا تربيع ﻥ.
لكننا نعلم أن هذه متطابقة. فهي تساوي واحدًا لجميع قيم ﻥ. ومن ثم، فإن محدد المصفوفة في الحد الأول يعطينا واحدًا. هيا نحسب الآن قيمة محدد المصفوفة في الحد الثاني. باستخدام هذه الصيغة وتذكر أن علينا طرح هذه القيمة، نحصل على جتا ﻥ مضروبًا في سالب جا ﻥ ناقص جا ﻥ مضروبًا في سالب جتا ﻥ. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا تبسيط ذلك الآن. فيمكن التبسيط ليصبح لدينا سالب جا ﻥ في جتا ﻥ زائد جا ﻥ مضروبًا في جتا ﻥ. وبالطبع هذا يساوي صفرًا.
أخيرًا، كل ما علينا فعله هو حساب محددات المصفوفة في الحد الثالث. أي إننا سنوجد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين ونبسط. وهذا يعطينا جتا تربيع ﻥ زائد جا تربيع ﻥ. ومرة أخرى، باستخدام المتطابقة نفسها، نعرف أن هذا يساوي واحدًا لجميع قيم ﻥ. ومن ثم يمكننا التعويض عن هذا التعبير بالكامل بواحد، وهو ما يعطينا محدد المصفوفة ﺃ يساوي ﻫ أس ﻥ مضروبًا في واحد ناقص صفر زائد واحد. ويمكننا حساب هذا التعبير. فهو يساوي اثنين في ﻫ أس ﻥ. وهناك أمر مهم جدًّا يجب معرفته عن هذا المحدد. وهو أننا نعلم أنه يمثل قيمة موجبة لجميع قيم ﻥ. تذكر أن المصفوفة لن تكون قابلة للعكس إذا كانت قيمة محدد المصفوفة تساوي صفرًا.
وبما أننا أثبتنا أن المحدد يمثل قيمة موجبة لجميع قيم ﻥ، فهذا يعني أننا قد أثبتنا أيضًا أن المصفوفة ستكون قابلة للعكس لجميع قيم ﻥ. ولكن، هذه ليست سوى الخطوة الأولى في عملية إيجاد معكوس هذه المصفوفة، لذا دعونا نفرغ بعض المساحة لباقي الخطوات، مع تذكر أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ. الخطوة الثانية التي علينا اتخاذها هي إيجاد محددات جميع المصفوفات الصغرى للمصفوفة ﺃ. هيا نبدأ بإيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد، واحد. تذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃ واحد، واحد هي المصفوفة التي نحصل عليها عن طريق حذف الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ. وعلينا إيجاد محدد هذه المصفوفة. هذا هو محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: سالب جا ﻥ، جتا ﻥ، سالب جتا ﻥ، سالب جا ﻥ.
ومثلما فعلنا من قبل، لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة، علينا إيجاد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. بتبسيط هذا التعبير، نحصل على جا تربيع ﻥ زائد جتا تربيع ﻥ، ما يعطينا متطابقة مرة أخرى. وهي تساوي واحدًا لجميع قيم ﻥ. لكن تذكر أن علينا تكرار هذه الخطوة مع جميع المصفوفات الصغرى. فلنوجد الآن قيمة محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. وهذه هي المصفوفة الصغرى التي نحصل عليها بحذف الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ. ومن ثم، علينا إيجاد محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين: ﻫ أس ﻥ، جتا ﻥ، ﻫ أس ﻥ، سالب جا ﻥ.
نفعل ذلك بالطريقة نفسها التي اتبعناها من قبل. علينا إيجاد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. وبالتبسيط، نحصل على سالب ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ ناقص ﻫ أس ﻥ جتا ﻥ. ويمكننا تبسيط ذلك بإخراج العامل المشترك سالب ﻫ أس ﻥ. ومن ثم يصبح محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين يساوي سالب ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ زائد جتا ﻥ. سنحتاج إلى فعل ذلك مع جميع المصفوفات الصغرى التسع. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونعد كتابة محددي المصفوفتين الصغريين اللذين أوجدناهما حتى الآن. وباتباع الطريقة نفسها وتبسيط جميع التعبيرات، يمكننا حساب قيمة محددات المصفوفات السبع الصغرى المتبقية. وهكذا نحصل على التعبيرات التالية.
وبهذا نكون قد انتهينا من الخطوة الثانية. حيث أوجدنا محددات المصفوفات الصغرى التسع في المصفوفة ﺃ. وتذكر أننا كنا بحاجة لجميع هذه المحددات لتكوين مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ. كل مدخل في مصفوفة العوامل المرافقة سيمثل محدد إحدى هذه المصفوفات الصغرى. لكن بعد ذلك نضرب هذا المحدد في سالب واحد أس رقم الصف زائد رقم العمود. إذن، في الصف الأول والعمود الأول من مصفوفة العوامل المرافقة، سنحصل على سالب واحد أس واحد زائد واحد؛ لأن هذا هو الصف الأول والعمود الأول. وعلينا ضرب ذلك في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد، وهو ما أوضحنا أنه يساوي واحدًا. وهذا يعطينا سالب واحد أس واحد زائد واحد في واحد، وهو ما يساوي واحدًا بالطبع.
وبهذا نكون قد حددنا العنصر المدخل في الصف الأول، والعمود الأول في مصفوفة العوامل المرافقة. هيا نحدد الآن العنصر المدخل في الصف الأول والعمود الثاني. هذه المرة، لدينا سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين، وهو سالب ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ زائد جتا ﻥ. ويمكننا تبسيط ذلك. سالب واحد أس واحد زائد اثنين يساوي سالب واحد. وإذا ضربنا ذلك في العامل الآخر سالب واحد، فسنحصل على واحد. هكذا نجد أن قيمة العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الثاني في مصفوفة العوامل المرافقة تساوي ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ زائد جتا ﻥ.
سنحتاج الآن إلى تكرار ذلك مع العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الثالث. هذه المرة، لدينا سالب واحد أس واحد زائد ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد ثلاثة، وهو: ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ. وبالطبع، سالب واحد أس واحد زائد ثلاثة يساوي واحدًا. وبالتالي، يمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ. وسنكرر هذه العملية لإيجاد جميع قيم العناصر المدخلة في مصفوفة العوامل المرافقة. وهذا يعطينا المصفوفة الآتية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة لمصفوفة العوامل المرافقة ﻡ. وبإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ، نكون قد نجحنا في إتمام الخطوة الثالثة، ما يعني أن علينا الآن الانتقال إلى الخطوة الرابعة لإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ.
علينا الآن تكوين المصفوفة الملحقة لـ ﺃ، وذلك من خلال إيجاد مدور المصفوفة ﻡ. تذكر أنه لإيجاد مدور المصفوفة، علينا تبديل الصفوف والأعمدة. إذن دعونا نوجد مدور مصفوفة العوامل المرافقة ﻡ. سنبدأ بكتابة العمود الأول باعتباره الصف الأول. علينا إعادة كتابة العمود الأول واحد، صفر، واحد باعتباره الصف الأول في المصفوفة الجديدة، وهكذا يصبح لدينا واحد، صفر، واحد. ونريد بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع العمود الثاني من المصفوفة. علينا أن نكتب هذا باعتباره الصف الثاني في مدور المصفوفة. إذن نجد أن الصف الثاني من المصفوفة الملحقة هو ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ زائد جتا ﻥ، سالب اثنين ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ، ﻫ أس ﻥ مضروبًا في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ.
وأخيرًا، سنفعل الشيء نفسه مع العمود الأخير من المصفوفة ﻡ. وهذا يعطينا المصفوفة التالية، وهي مدور مصفوفة العوامل المرافقة. وتذكر أن هذه هي أيضًا المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. وتذكر أنه لإيجاد معكوس المصفوفة ﺃ، كل ما علينا فعله هو إيجاد المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ ومحددات المصفوفة ﺃ. وقد فعلنا كلتا الخطوتين. إذن، يمكننا الآن إيجاد تعبير يعبر عن معكوس المصفوفة ﺃ. نرى هنا أن المعكوس الضربي للمصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على محدد ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي اثنين ﻫ أس ﻥ.
كما أوجدنا أيضًا المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. لكن، من غير الضروري كتابة هذه المصفوفة بالكامل مرة أخرى. بدلًا من ذلك، علينا أن نلاحظ أننا نضرب قيمة كل عنصر مدخل في المصفوفة الملحقة في واحد مقسومًا على اثنين ﻫ أس ﻥ. هذا يعني أن كل ما علينا فعله هو قسمة قيم جميع العناصر المدخلة في المصفوفة الملحقة على اثنين ﻫ أس ﻥ. سنبدأ بالعنصر المدخل في الصف الأول، العمود الأول. علينا قسمة واحد على اثنين ﻫ أس ﻥ. هذا يعطينا واحدًا على اثنين ﻫ أس ﻥ. لكننا سنعيد كتابة ذلك على صورة نصف في ﻫ أس سالب ﻥ. يمكننا فعل الأمر نفسه لتحديد العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الثاني. علينا قسمة صفر على اثنين ﻫ أس ﻥ. لكن، بالطبع، هذا يساوي صفرًا.
قيمة العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الثالث هي نفسها قيمة العنصر المدخل في الصف الأول، العمود الأول. من ثم سنحصل أيضًا على نصف في ﻫ أس سالب ﻥ. بعد ذلك، سنحدد العنصر المدخل في الصف الثاني، العمود الأول في معكوس المصفوفة. علينا قسمة ﻫ أس ﻥ في جا ﻥ زائد جتا ﻥ على اثنين ﻫ أس ﻥ. وسنبسط ذلك ليصبح نصفًا مضروبًا في جا ﻥ زائد جتا ﻥ. وبإجراء العملية نفسها والتبسيط، يمكننا إيجاد قيم جميع العناصر المدخلة المتبقية في المعكوس. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وجدير بالذكر هنا أنه يمكننا التحقق من إجابتنا بضربها في المصفوفة ﺃ والتأكد من حصولنا على مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.
هكذا، تمكنا من إيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة ﺃ المعطاة في السؤال. كما أوضحنا أن هذا ينطبق على أي قيمة لـ ﻥ. واستطعنا إثبات أن معكوس ﺃ يساوي المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: نصف ﻫ أس سالب ﻥ، صفر، نصف ﻫ أس سالب ﻥ، نصف في جا ﻥ زائد جتا ﻥ، سالب جا ﻥ، نصف مضروب في جا ﻥ ناقص جتا ﻥ، نصف جا ﻥ ناقص جتا ﻥ، جتا ﻥ، سالب نصف في جا ﻥ زائد جتا ﻥ.
