فيديو السؤال: إيجاد معكوس المصفوفات الثلاثية الأبعاد الرياضيات

بالنظر إلى قيمة المحدد، حدد ما إذا كانت المصفوفة [١‎، ٢‎، ٣‎، ٠‎، ٢‎، ١‎، ٣‎، ١‎، ٠]، لها معكوس أم لا. إذا كانت كذلك، فأوجد المعكوس باستخدام مصفوفة العوامل المرافقة.

٠٦:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

بالنظر إلى قيمة المحدد، حدد ما إذا كانت المصفوفة واحد، اثنان، ثلاثة؛ وصفر، اثنان، واحد؛ وثلاثة، واحد، صفر؛ لها معكوس أم لا. إذا كانت كذلك، فأوجد المعكوس باستخدام مصفوفة العوامل المرافقة.

لا يكون للمصفوفة معكوس إلا إذا كانت قيمة محددها لا تساوي صفرًا. إذن، لمساعدتنا في تحديد ما إذا كانت هذه المصفوفة لها معكوس أم لا، سنبدأ بحساب قيمة المحدد. ويعد إيجاد قيمة محدد لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة أكثر تعقيدًا بعض الشيء من إيجاد قيمة محدد لمصفوفة اثنين في اثنين. لذا، علينا أن ننتبه جيدًا عند إجراء كل خطوة.

صيغة إيجاد قيمة محدد المصفوفة ‪ﺃ‏‬‏، ‪ﺏ‏‬‏، ‪ﺟ‬‏، ‪ﺩ‏‬‏، ‪ﻫ‬‏، ‪ﻭ‏‬‏، ‪ﺯ‬‏، ‪ﺡ‏‬‏، ‪ﻯ‬‏ هي: ‪ﺃ‬‏ مضروبًا في محدد المصفوفة ‪ﻫ‬‏، ‪ﻭ‏‬‏، ‪ﺡ‏‬‏، ‪ﻯ‬‏ ناقص ‪ﺏ‬‏ مضروبًا في محدد المصفوفة ‪ﺩ‏‬‏، ‪ﻭ‏‬‏، ‪ﺯ‬‏، ‪ﻯ‬‏ زائد ‪ﺟ‬‏ مضروبًا في محدد المصفوفة ‪ﺩ‏‬‏، ‪ﻫ‬‏، ‪ﺯ‬‏، ‪ﺡ‬‏. إننا بشكل أساسي نأخذ كل عنصر من عناصر الصف العلوي ونضربه في المحدد الأصغر المناظر له. هذه القيمة تمثل محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، والتي حصلنا عليها عند شطب الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر المعني.

إذن، على سبيل المثال، بالنسبة إلى العنصر ‪ﺃ‬‏، يمكننا ملاحظة أن المحدد الأصغر المناظر له هو محدد المصفوفة ‪ﻫ‬‏، ‪ﻭ‏‬‏، ‪ﺡ‏‬‏، ‪ﻯ‬‏. علينا أيضًا أن نتذكر ضرب العنصر الثاني ‪ﺏ‬‏ في سالب واحد عند فعل ذلك. وبالنسبة للمصفوفة الموجودة لدينا، فإن ذلك يساوي واحدًا مضروبًا في محدد المصفوفة اثنين، واحد، واحد، صفر. وذلك لأننا عندما نشطب الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر الأول واحد، تتبقى لدينا هذه الأرقام الأربعة؛ اثنان، واحد، واحد، صفر.

بعد ذلك، نطرح اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية؛ وهي: صفر، واحد، ثلاثة، صفر. وبعد ذلك، نجمع ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة صفر، اثنين، ثلاثة، واحد. علينا الآن إيجاد قيم محددات المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. لنفعل ذلك، سنوجد حاصل ضرب العنصر العلوي بالركن الأيمن في العنصر السفلي بالركن الأيسر. ونطرح منه بعد ذلك حاصل ضرب العنصر العلوي بالركن الأيسر في العنصر السفلي بالركن الأيمن.

بالنسبة إلى هذه المصفوفة، لدينا اثنان مضروبًا في صفر ناقص واحد مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي سالب واحد. وبالنسبة إلى المصفوفة الثانية، لدينا صفر مضروبًا في صفر ناقص واحد مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. أما بالنسبة إلى المصفوفة الثالثة، فلدينا صفر مضروبًا في واحد ناقص اثنين مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ستة. وهذا يعطينا القيمة سالب ١٣. سنجد هنا أن قيمة المحدد لا تساوي صفرًا، بل تساوي سالب ١٣. إذن، المصفوفة لها معكوس بالفعل.

والآن بعد أن علمنا ذلك، يمكننا إيجاد هذا المعكوس. وعلينا فعل ذلك باستخدام مصفوفة العوامل المرافقة. لفعل ذلك، سنبدأ بالتعويض عن كل مدخل، أو كل عنصر، في المصفوفة بالمحدد الأصغر المناظر له. بالنسبة للعنصر الأول، هذا هو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين؛ وهي: اثنان، واحد، واحد، صفر. هذا يعطينا سالب واحد. وفيما يتعلق بالعنصر الثاني، فهذا هو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين؛ وهي: صفر، واحد، ثلاثة، صفر. لقد شطبنا على العمود الأوسط. إذن هذا يعطينا سالب ثلاثة. وفيما يتعلق بالعنصر الثالث، فهو محدد المصفوفة صفر، اثنين، ثلاثة، واحد؛ وهو ما يساوي سالب ستة.

سنكمل هذه العملية الآن. سنشطب الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر. ونوجد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين المتبقية. إذن، المصفوفة هي: سالب واحد، سالب ثلاثة، سالب ستة، سالب ثلاثة، سالب تسعة، سالب خمسة، سالب أربعة، واحد، اثنان.

يمكننا تكوين مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق تغيير الإشارات وفقًا لهذا النمط. وبعد ذلك، نضرب العنصر الثاني بالصف الأول في سالب واحد. وفي الواقع، سنفعل ذلك مع كل العناصر الأخرى. أي مع العنصر الأول في الصف الثاني، والعنصر الثالث في الصف الثاني، والعنصر الثاني في الصف الثالث. إذن، مصفوفة العوامل المرافقة هي: سالب واحد، ثلاثة، سالب ستة، ثلاثة، سالب تسعة، خمسة، سالب أربعة، سالب واحد، اثنان.

الخطوة الثالثة هي تدوير هذه المصفوفة. وبشكل أساسي، سنعكس كل عنصر من العناصر حول هذا القطر. ويمكننا ملاحظة أن العناصر الموجودة على القطر نفسه يجب أن تظل كما هي. كما سنبدل العددين ثلاثة وثلاثة. وسنجعل سالب أربعة يحل محل سالب ستة، والعكس بالعكس. ثم سنعكس مكاني كل من خمسة وسالب واحد.

خطوتنا الأخيرة هي الضرب في واحد مقسوم على قيمة المحدد. قد تدرك الآن سبب أهمية ألا تكون قيمة محدد المصفوفة مساوية لصفر. لأنها إذا كانت كذلك، فسيعني هذا أننا نحسب واحدًا مقسومًا على صفر، ونحن نعرف أن هذه قيمة غير معرفة. هناك طريقة أخرى للحل؛ وهي قسمة كل عنصر من عناصر المصفوفة على قيمة المحدد؛ أي على سالب ١٣.

سالب واحد على سالب ١٣ يساوي واحدًا على ١٣. وثلاثة على سالب ١٣ يساوي سالب ثلاثة على ١٣. سالب أربعة على سالب ١٣ يساوي أربعة على ١٣. وسنكرر هذه العملية للحصول على المعكوس الموضح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.