نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي جا ﺱ. أي من الآتي التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي جا ﺱ زائد اثنين؟
سنبدأ بدراسة التمثيل البياني الأصلي لدالة الجيب قبل تطبيق أي تحويلات. نلاحظ وجود النقاط الخمس الرئيسية على طول دورة واحدة لمنحنى دالة الجيب. يبدو أن المقياس على المحور ﺱ بوحدة الراديان. ونعلم أن دالة الجيب طول دورتها اثنان 𝜋 راديان، وهو ما يساوي ٦٫٢٨ راديان تقريبًا. سعة منحنى دالة الجيب الرئيسي مقدارها واحد، وهي المسافة من خط المنتصف إلى القمة أو القاع.
سنستعرض الآن التحويلات الأربعة لمنحنى دالة الجيب، بدءًا من الانتقالين الرأسي والأفقي. الانتقال أو الإزاحة الرأسية للدالة ﺩ ﺱ بمقدار ﺃ هي ﺩ ﺱ زائد ﺃ. أما الانتقال أو الإزاحة الأفقية للدالة ﺩ ﺱ بمقدار سالب ﺏ فهي ﺩ ﺱ زائد ﺏ. لتوضيح ما تعنيه هاتان القاعدتان، دعونا نتناول مثالين. ﺩ ﺱ زائد ثمانية انتقال إلى اليسار بمقدار ثمانية، وﺩ ﺱ ناقص ثمانية انتقال إلى اليمين بمقدار ثمانية.
يمتد منحنى دالة الجيب بالتوازي مع المحور ﺹ بمعامل قياس مقداره ﺟ، إذا كانت ﺩ ﺱ مضروبة في ﺟ. قد نشير إلى ذلك أيضًا باعتباره تغيرًا في السعة. يمتد منحنى دالة الجيب بالتوازي مع المحور ﺱ بمعامل قياس مقداره واحد على ﻙ، إذا كان لدينا ﺩ لـ ﻙ في ﺱ. وقد نشير إلى ذلك باعتباره تغيرًا في طول الدورة. سنفرغ الآن بعض المساحة لتحديد التحويل الذي يتم تطبيقه على دالة جا ﺱ لنحصل على جا ﺱ زائد اثنين، وكيفية مقارنة كل تمثيل بياني من التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة مع دالة جا ﺱ.
إذا كانت جا ﺱ تساوي ﺩ ﺱ، فإن جا ﺱ زائد اثنين تساوي ﺩ ﺱ زائد اثنين؛ حيث قيمة ﺏ تساوي اثنين. ومن ثم فإننا نبحث عن منحنى دالة الجيب ذي الانتقال الأفقي بمقدار سالب اثنين، والذي لا يؤثر على طول الدورة الأصلي الذي مقداره اثنان 𝜋 أو السعة التي مقدارها واحد. هذا التحويل هو إزاحة بسيطة بمقدار اثنين راديان إلى اليسار.
نحن الآن مستعدون لتناول التمثيل البياني الموضح في الخيار أ. إذا حددنا دورة واحدة لمنحنى دالة الجيب الموضح، فسنلاحظ أن السعة تساوي واحدًا، لكن طول الدورة تغير من ٦٫٢٨ تقريبًا إلى ٣٫١٤ تقريبًا، أو بعبارة أخرى من طول دورة مقداره اثنان 𝜋 إلى طول دورة مقداره 𝜋. يبدو أن هذا المنحنى هو التمثيل البياني للدالة ﺩ لاثنين ﺱ، وهو ما يقلل طول الدورة إلى النصف. كما أننا لا نلاحظ أي إزاحة أفقية. ومن ثم نستبعد الخيار أ.
نحن الآن مستعدون لتناول الخيار ب. إذا حددنا دورة واحدة من منحنى دالة الجيب مرة أخرى، فسنلاحظ أن السعة تساوي واحدًا. يمتد طول دورة واحدة للمنحنى من سالب اثنين إلى ما بعد موجب أربعة بقليل. إذن يبدو أن هذا التمثيل البياني له طول الدورة المطلوب الذي مقداره اثنان 𝜋، أو ٦٫٢٨ تقريبًا. بمقارنة هذا المنحنى مع المنحنى الرئيسي لدالة الجيب، والذي يمر بنقطة الأصل صفر، صفر، نجد أن هذا المنحنى يمر بالنقطة سالب اثنين، صفر، وهذا دليل على وجود إزاحة أفقية بمقدار سالب اثنين. إذن نستنتج أن التمثيل البياني الموضح في الخيار ب هو التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ زائد اثنين.
دعونا نلق نظرة سريعة على الخيارات الأخرى للتأكد من أننا لم نغفل أي شيء. هذا هو منحنى دالة الجيب الموضح في الخيار ج. يبدو أن هذا المنحنى له طول الدورة الصحيح، لكن السعة تساوي اثنين بدلًا من واحد، ولا يوجد انتقال أفقي بمقدار اثنين أيضًا. بسبب هذا التغير في السعة، يبدو أن هذا هو التمثيل البياني لاثنين في ﺩ ﺱ. إذن، يمكننا بالتأكيد استبعاد الخيار ج.
يختلف التمثيل البياني المعطى في الخيار د بشكل ملحوظ عن أي من التمثيلات البيانية لدالة الجيب التي تناولناها حتى الآن؛ لأن منحنى دالة الجيب هذا لا يمس المحور ﺱ على الإطلاق. لا يزال طول دورة هذا المنحنى يساوي اثنين 𝜋 والسعة تساوي واحدًا، لكن الفرق الأبرز هو الانتقال الرأسي لأعلى بمقدار اثنين. إذن، هذا تمثيل بياني لـ ﺩ ﺱ زائد اثنين؛ حيث يكتب العدد اثنان خارج القوسين، ولا يجب الخلط بين هذه الدالة والدالة ﺩ ﺱ زائد اثنين؛ حيث العدد اثنان مكتوب داخل القوسين. وبما أن هذا المنحنى قد انتقل رأسيًّا لأعلى بدلًا من انتقاله أفقيًّا، فيمكننا استبعاد الخيار د.
آخر تمثيل بياني علينا التحقق منه موضح في الخيار هـ. منحنى دالة الجيب هذا له السعة وطول الدورة الصحيحان، لكن يبدو أنه قد تمت إزاحته إلى اليمين بمقدار اثنين، بدلًا من إزاحته إلى اليسار بمقدار اثنين. إذن، هذا هو التمثيل البياني لـ ﺩ ﺱ ناقص اثنين. من المهم أن نتذكر أنه في الانتقالات الأفقية، فإن ﺱ زائد اثنين ينقل المنحنى إلى اليسار، وﺱ ناقص اثنين ينقل المنحنى إلى اليمين. لذا نستبعد الخيار هـ.
خلاصة القول، يوضح الخيار ب فقط تمثيلًا بيانيًّا لدالة الجيب بطول دورة مقداره اثنان 𝜋، وسعة مقدارها واحد، وانتقال أفقي مقداره سالب اثنين. إذن الخيار ب هو التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي جا ﺱ زائد اثنين.
