فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة متضمنًا استخدام قاعدة السلسلة مع دالة أسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية، إن وجدت، للدالة ﺩﺱ تساوي ﻫ أس سالب ﺱ أس أربعة.

تعطينا هذه المسألة الدالة ﺩﺱ، وهي دالة أسية مركبة مع كثيرة حدود. والمطلوب هنا هو إيجاد جميع القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لهذه الدالة إن وجد أي منها. أول شيء علينا تذكره عندما يطلب منا إيجاد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لأي دالة هو أننا نحصل على القيم القصوى المحلية دائمًا عند النقاط الحرجة للدالة. ونقول إن ﺱ يساوي ﺃ هي نقطة حرجة للدالة ﺩﺱ إذا كانت الدالة ﺩ شرطة ﺃ تساوي صفرًا أو كانت الدالة ﺩ شرطة ﺃ غير موجودة.

إذن، لإيجاد القيم القصوى المحلية، علينا إيجاد النقاط الحرجة. ولفعل ذلك، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. يمكننا أن نرى أن ﺩﺱ مكونة من دالتين؛ أي عبارة عن دالة أسية ودالة كثيرة الحدود. إذن، لاشتقاق ذلك، سيتعين علينا استخدام قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﻉ دالة في ﻕ، وﻕ بدورها دالة في ﺱ، فإن مشتقة ﻉ لـ ﻕﺱ تساوي ﻕ شرطة ﺱ مضروبة في ﻉ شرطة لـ ﻕﺱ.

إذن، لتطبيق قاعدة السلسلة على الدالة ﺩﺱ، سنفترض أن ﻕ هي الدالة الداخلية سالب ﺱأس أربعة. ومن هذا يمكننا استنتاج أن ﺩﺱتساوي ﻫ أس ﻕ. وبالتالي، يمكننا الآن ملاحظة أننا أعدنا كتابة ﺩﺱ لتصبح دالة في ﻕ. ولاستخدام الرمز نفسه في قاعدة السلسلة، سنجعل ﻉ تساوي ﻫ أس ﻕ. ووفقًا لقاعدة السلسلة، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ﻕ شرطة ﺱ في ﻉ شرطة لـ ﻕﺱ.

دعونا إذن نوجد تعبيرين لـ ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ. لنبدأ بـ ﻕ شرطة ﺱ. وهي مشتقة سالب ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. نضرب في أس ﺱ، وهو أربعة، ونطرح واحدًا من هذا الأس. فنحصل على ﻕ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تكعيب.

دعونا الآن نوجد تعبيرًا لـ ﻉ شرطة ﻕ. وهي مشتقة ﻫ أس ﻕ بالنسبة إلى ﻕ. في الواقع، نعلم أن مشتقة الدالة الأسية تساوي الدالة نفسها. إذن، ﻉ شرطة ﻕ تساوي أيضًا ﻫ أس ﻕ. بالتعويض بالتعبيرات الدالة على كل من ﻕ شرطة وﻉ شرطة وﻕﺱ، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تكعيب في ﻫ أس سالب ﺱ أس أربعة.

تذكر أننا نحاول إيجاد النقاط الحرجة لهذه الدالة. لذا، فنحن نحاول إيجاد القيم التي تكون عندها المشتقة غير موجودة أو القيم التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرًا. في هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن مجال ﺩ شرطة ﺱ هو جميع الأعداد الحقيقية. وهي موجودة عند أي قيمة حقيقية لـ ﺱ. إذن، النقاط الحرجة الوحيدة هي القيم التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرًا. إذن، دعونا نحل ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا.

يمكننا ملاحظة أن ﺩ شرطة ﺱ عبارة عن حاصل ضرب دالتين. وكون حاصل ضرب دالتين يساوي صفرًا يعني أن أحد هذين العاملين يساوي صفرًا بالتأكيد. إذن، إما سالب أربعة ﺱ تكعيب يساوي صفرًا أو ﻫ أس سالب ﺱ أس أربعة يساوي صفرًا. وبما أن ﻫ عدد موجب، فإن ﻫ أس أي قيمة يكون موجبًا. إذن، ﻫ أس سالب ﺱ أس أربعة يكون موجبًا لجميع قيم ﺱ، ومن ثم لا يمكن أن يساوي صفرًا.

وهذا يعني أن النقاط الحرجة الوحيدة للدالة ﺩﺱ ستتحقق عندما يكون سالب أربعة ﺱ تكعيب يساوي صفرًا. وبالطبع، الحل الوحيد لسالب أربعة ﺱ تكعيب يساوي صفرًا عندما ﺱ يساوي صفرًا. وعليه، فإن القيمة المحلية القصوى الوحيدة الممكنة تتحقق عندما ﺱ يساوي صفرًا.

علينا الآن التحقق من نوع النقطة. سنفعل ذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى. لاستخدام اختبار المشتقة الأولى، نريد إيجاد قيمة مشتقة الدالة ﺩ حول جميع النقاط الحرجة. النقطة الحرجة الوحيدة لدينا هي عندما ﺱ يساوي صفرًا. لذا سنتحقق من المشتقة أسفل الصفر عند سالب واحد وفوق الصفر عند واحد. تذكر أننا أوضحنا أن ﺱ يساوي صفرًا هي نقطة حرجة من خلال إثبات أن الدالة ﺩ شرطة لصفر تساوي صفرًا. إذن، يمكننا كتابة هذه القيمة في الجدول إذا أردنا ذلك.

لنملأ بقية قيم الجدول. سنبدأ بإيجاد ﺩ شرطة لسالب واحد. وهي تساوي سالب أربعة في سالب واحد تكعيب في ﻫ أس سالب واحد في سالب واحد أس أربعة. وهو ما يمكننا تبسيطه ليصبح لدينا أربعة ﻫ أس سالب واحد. والمعلومات التي تعنينا هنا هي أن هذا هو حاصل ضرب عددين موجبين. إذن، تكون هذه قيمة موجبة. وبذلك، يكون ميل الدالة موجبًا عند ﺱ يساوي سالب واحد.

دعونا الآن نفعل الأمر نفسه مع ﺱ يساوي واحدًا. نحصل على ﺩ شرطة لواحد تساوي سالب أربعة في واحد تكعيب في ﻫ أس سالب واحد في واحد أس أربعة. وهو ما يمكننا تبسيطه ليصبح لدينا سالب أربعة في ﻫ أس سالب واحد. وهذه المرة، هذا عدد سالب مضروب في عدد موجب، لذا، فقيمته أقل من صفر. إذن، ميل الدالة ﺩ يكون سالبًا عندما ﺱ يساوي واحدًا.

لنرسم شكلًا سريعًا بما أوضحنا. عندما ﺱ يساوي سالب واحد، يكون الميل موجبًا. ولكن عندما ﺱ يساوي صفرًا، فإن الميل يساوي صفرًا. وعندما ﺱ يساوي واحدًا، يكون الميل سالبًا. بعبارة أخرى، عندما ﺱ يساوي صفرًا، يكون لدينا قيمة عظمى محلية. وآخر ما علينا فعله هو إيجاد هذه القيمة العظمى المحلية. سنفعل ذلك بالتعويض بالقيمة ﺱ يساوي صفرًا في الدالة ﺩﺱ.

وعليه نحصل على ﻫ أس سالب واحد في صفر أس أربعة. وهذا يساوي ﻫ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا. وهكذا، نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩﺱ تساوي ﻫ أس سالب ﺱ أس أربعة يكون لها قيمة قصوى محلية واحدة فقط. وهي قيمة عظمى محلية تساوي واحدًا عندما ﺱ يساوي صفرًا.