نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين ﺹ يساوي خمسة ﺱ، وﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع.
في هذا النوع من الأسئلة، يمكنك استخدام برنامج التمثيل البياني لرصد المنطقة المحدودة. لكن، دعونا بدلًا من ذلك نوجد النقاط المهمة على المنحنيين جبريًا، ونبدأ بالمنحنى ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع. بالنظر إلى المعادلة لدينا، يمكننا ملاحظة أن الحد الرئيسي سيكون معاملًا ما في ﺱ تربيع. وعليه، يمكننا القول إن شكل التمثيل البياني سيكون قطعًا مكافئًا.
لفهم هذا المنحنى بشكل أفضل، دعونا نبدأ الآن بإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. في كلتا المعادلتين، لدينا قيمة ﺹ بدلالة ﺱ. نعلم أنه عندما يقطع المنحنى المحور ﺹ، فإن ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا التعويض بقيمة ﺱ هذه في المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ. بحل هذه المعادلة، نجد أن ﺹ يساوي ٢٥ عندما يساوي ﺱ صفرًا. يمكننا إذن القول إن المنحنى يقطع المحور ﺹ عند النقطة صفر، ٢٥.
هيا نواصل الحل بإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺱ. نعلم أنه عندما يقطع المنحنى المحور ﺱ، فإن ﺹ يساوي صفرًا. بما أن لدينا قيمة ﺹ بدلالة ﺱ، يمكننا إضافة هذه العلاقة إلى المعادلة. بالنظر إلى هذه المعادلة، يمكن ملاحظة أن لدينا قوسًا مربعًا يساوي صفرًا. الحالة الوحيدة التي ينطبق فيها هذا الأمر هي عندما يساوي القوس نفسه صفرًا أيضًا.
لذا، يمكننا المتابعة بقول إن اثنين ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا. والآن، يمكننا حل المعادلة بإضافة خمسة إلى كلا الطرفين والقسمة على اثنين. توصلنا الآن إلى أنه عندما يساوي ﺹ صفرًا، فإن ﺱ يساوي خمسة على اثنين. إذن، يمكننا القول إن المنحنى لا يقطع المحور ﺱ إلا عند النقطة خمسة على اثنين، صفر.
بالنظر إلى المنحنى، يمكننا ملاحظة أنه يوجد خط أفقي واحد فقط يقطع المنحنى مرة واحدة فقط. أما جميع الخطوط الأفقية الأخرى، فتؤدي إلى نقطتي تقاطع. وبما أننا نتعامل مع قطع مكافئ، يمكننا أيضًا استنتاج أن هذه النقطة، أي الجزء المقطوع من المحور ﺱ، هي أيضًا نقطة تحول المنحنى. أصبحنا الآن أكثر استعدادًا لرسم التمثيل البياني باستخدام النقاط التي أوجدناها.
لنوجه اهتمامنا الآن إلى المعادلة الأخرى، وهي ﺹ يساوي خمسة ﺱ. يمكننا أن نلاحظ على الفور أن هذه المعادلة تصف خطًا مستقيمًا بميل موجب يمر بنقطة الأصل. لقد رسمنا هنا هذا الخط على التمثيل البياني. والآن بعد أن انتهينا من رسم التمثيل البياني، يمكننا تظليل المنطقة المحدودة بين المنحنى والمستقيم. لنفكر في كيفية إيجاد مساحة هذه المنطقة. عند محاولة إيجاد المساحة تحت منحنى، فإن إحدى الوسائل التي يمكننا استخدامها هي التكاملات المحددة.
للتحقق سريعًا، يمكننا النظر إلى المنطقة المحدودة ونلاحظ أن المساحة المحدودة لا تمر أسفل المحور ﺱ. ومن هذا المنطلق، يمكننا استنتاج أنه لا توجد نقطة يمكن عندها حساب التكامل المحدد بقيمة سالبة، ومن ثم نستطيع المضي قدمًا بطمأنينة دون تقسيم المنطقة إلى أجزاء. لمتابعة استخدام هذه الطريقة، علينا إيجاد حدي التكامل. بالرجوع إلى الرسم، نلاحظ أن النقطتين المهمتين هما اللتان يتقاطع عندهما المستقيم والمنحنى.
يمكننا استخدام إحداثي المحور ﺱ لنقطتي التقاطع هذين للحدين ﺃ وﺏ للتكامل المحدد. لإيضاح الطريقة أكثر، دعونا نرسم المستقيم والمنحنى كلًا على حدة، مع تحديد نقطتي التقاطع في كل منهما. وباستخدام ﺃ وﺏ كإحداثيات المحور ﺱ لنقطتي التقاطع هاتين، يمكننا رؤية المساحة المحددة بين المنحنى والمحور ﺱ بين هذين الحدين.
أطلقنا على المساحة الأولى ﻡ واحد والمساحة الثانية ﻡ اثنين. وبالنظر إلى التمثيلين البيانيين، نلاحظ أن طرح ﻡ اثنين من ﻡ واحد سيعطينا مساحة المنطقة المحدودة. دعونا نطلق على مساحة المنطقة المحدودة ﻡ ونحتفظ بهذه الصيغة للرجوع إليها لاحقًا. طريقتنا إذن لإيجاد ﻡ واحد أو المساحة المحصورة بين المستقيم ﺹ يساوي خمسة ﺱ والمحور ﺱ بين الحدين ﺃ وﺏ. سنفعل الشيء نفسه مع ﻡ اثنين، ونستخدم الصيغة لإيجاد مساحة المنطقة المحدودة.
ملحوظة جانبية سريعة، يمكنك ملاحظة أن المساحة ﻡ واحد هي شبه منحرف، ويمكن إيجادها باستخدام الطرق الهندسية. في هذا المثال، سنختار استخدام التكامل لإيجاد المساحة. ومع ذلك، يمكنك استخدام طرق أخرى إذا أردت. والآن بعد أن اتضح لنا هدفنا، دعونا نحاول إيجاد قيمة الحدين، ﺃ وﺏ. يمكننا فعل ذلك عن طريق إيجاد نقطتي تقاطع المستقيم والمنحنى. ونعلم أنه عند هاتين النقطتين ستكون قيمتا ﺹ وﺱ للمعادلتين متساويتين. وبذلك، يمكننا أن نساوي بين الدالتين لـ ﺱ.
والآن بعد أن توصلنا إلى معادلة بدلالة ﺱ، هيا نباشر الحل بضرب القوس في الطرف الأيمن أولًا. والآن، سنجمع حدود ﺱ في الطرف الأيمن. في الخطوة التالية، سنعمل على تحليل هذه المعادلة. وفي هذه المرحلة، يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية. لكن، يمكن أيضًا التحليل مباشرة. أحد مفاتيح الحل التي يمكننا استخدامها هو أن عوامل العدد ٢٥ هي فقط واحد وخمسة و٢٥ نفسه.
نجد أنه من الصعب استخدام كل من واحد و٢٥ على نحو صحيح، لذا نستخدم خمسة. بالتجربة والخطأ، يتبين لنا أن هذه المعادلة يمكن تحليلها بنجاح إلى أربعة ﺱ ناقص خمسة وﺱ ناقص خمسة. والآن أصبح لدينا معادلة مألوفة؛ حيث حاصل ضرب القوسين معًا يساوي صفرًا. نعلم أنه لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن يكون أحد العوامل يساوي صفرًا أيضًا. يمكننا إذن القول إن أربعة ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا أو ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا.
وبحل هاتين المعادلتين، نحصل على ﺱ يساوي خمسة على أربعة، أو ﺱ يساوي خمسة. وبما أننا لا نحتاج إلى قيمتي ﺹ في هذا السؤال، يمكن تحديد هاتين النقطتين على التمثيل البياني الآن. وأخيرًا، أصبحنا مستعدين لإيجاد قيمة التكامل، ونبدأ بالمساحة ﻡ واحد. وهي المساحة المحدودة بالمستقيم ﺹ يساوي خمسة ﺱ والمحور ﺱ بين الحدين اللذين توصلنا إليهما توًا وهما خمسة على أربعة وخمسة. هنا نوجد التكامل المحدد لخمسة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ بين الحدين لدينا.
وباستخدام قواعد التكامل، نحصل على خمسة على اثنين ﺱ تربيع بين الحدين أيضًا. وفي الخطوة التالية، نخرج العامل خمسة على اثنين ونعوض بالحدين في المعادلة. دعونا الآن نحل ذلك من خلال العمليات الحسابية التي نجريها أولًا بتربيع الحدود والتبسيط. وفي النهاية، سنحصل على ﻡ واحد يساوي ١٨٧٥ على ٣٢. والآن، لنضع هذه القيمة جانبًا، ونوجد ﻡ اثنين.
كتبنا هنا التكامل المحدد لـ ﻡ اثنين، وهي المساحة المحدودة بالمنحنى ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع، والمحور ﺱ بين الحدين اللذين توصلنا إليهما، أي خمسة على أربعة وخمسة. للمساعدة في إجراء العمليات الحسابية، دعونا نستخدم الصورة التحليلية للقوسين اللذين استنتجناهما سابقًا. هنا نكون قد أجرينا عملية التكامل للدالة، بإضافة واحد لأس كل حد ﺱ والقسمة على الأس الجديد.
سنبسط سريعًا ٢٠ على اثنين ليصبح ١٠. الخطوة التالية هي التعبير عن ١٠ و٢٥ بدلالة خمسة. ستتضح أسباب القيام بذلك توًا. نحن الآن جاهزون للتعويض بالحدين في المعادلة. نرى هنا المعادلة كاملة مع تحديد الحدين بلون مختلف ليساعدنا ذلك في تتبع الأعداد. وبإلقاء نظرة فاحصة قليلًا، يتبين لنا أن جميع الحدود تحتوي على العامل خمسة تكعيب.
وعلى الرغم من صعوبة اكتشاف ذلك في البداية، فعند إخراج العامل خمسة تكعيب نحصل على معادلة أسهل كثيرًا في التعامل معها. يمكننا الاستمرار في تبسيط المعادلة. وبذلك نجد أن الإجابة تختزل في آخر الأمر، ونحصل على المساحة ﻡ اثنين تساوي ٣٧٥ على ١٦. نحن الآن جاهزون لإيجاد المساحة المحدودة الكلية باستخدام الصيغة التي حددناها سابقًا.
بأخذ ﻡ واحد، أي المساحة المحدودة بالمستقيم ﺹ يساوي خمسة ﺱ، وطرح ﻡ اثنين، أي المساحة المحدودة بالمستقيم ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص خمسة الكل تربيع، نجد أن المساحة الكلية للمنطقة المحدودة هي ١١٢٥ على ٣٢ وحدة مربعة أو وحدة مساحة.
