نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ، حيث ﺏﺟ يساوي ثلاثة سنتيمترات، وﺃﺏ يساوي أربعة سنتيمترات. أوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ وقياسي الزاويتين ﺃ وﺟ لأقرب درجة.
سنبدأ برسم المثلث القائم الزاوية ﺃﺏﺟ. نعلم من المعطيات أن طول الضلع ﺏﺟ يساوي ثلاثة سنتيمترات، وطول الضلع ﺃﺏ يساوي أربعة سنتيمترات. يطلب الجزء الأول من السؤال إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ. وهذه القطعة المستقيمة هي وتر هذا المثلث، لأنها الضلع المقابل للزاوية القائمة.
إحدى طرق حساب طول الوتر عندما يكون طولا الضلعين الآخرين بالمثلث القائم الزاوية معلومين هي استخدام نظرية فيثاغورس. تنص هذه النظرية على أن ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع يساوي ﺟ شرطة تربيع؛ حيث ﺟ شرطة هو طول الوتر وﺃ شرطة وﺏ شرطة هما طولا أقصر ضلعين. وبالتعويض بالقيمتين المذكورتين في هذا السؤال، نحصل على ﺃﺟ تربيع يساوي ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وأربعة تربيع يساوي ١٦. يمكننا بعد ذلك حساب الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. وبما أن ﺃﺟ لا بد أن يكون موجبًا، فإن ﺃﺟ يساوي الجذر التربيعي لتسعة زائد ١٦. وهذا يبسط إلى الجذر التربيعي لـ٢٥، وهو ما يساوي خمسة. إذن، طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي خمسة سنتيمترات.
جدير بالملاحظة أن هذا المثلث يعد مثالًا على ثلاثية فيثاغورس. ومن ثم، نتذكر أن أي مثلث أطوال أضلاعه تساوي ثلاثة سنتيمترات وأربعة سنتيمترات وخمسة سنتيمترات، يكون مثلثًا قائم الزاوية.
يطلب الجزء الثاني من السؤال إيجاد قياسي الزاويتين ﺃ وﺟ. وسنفعل ذلك باستخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلث قائم الزاوية ونسب جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية وظل الزاوية. يمكننا تذكر هذه النسب المثلثية الثلاث، حيث جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. سنستخدم الآن إحدى هذه النسب حتى نتمكن من حساب قياس الزاوية ﺃ. في هذا المثلث، الضلع المقابل لهذه الزاوية هو الضلع ﺏﺟ، والضلع المجاور للزاوية هو الضلع ﺃﺏ. وقد حددنا بالفعل الضلع الأطول وهو ﺃﺟ باعتباره الوتر.
وبما أننا نعرف أطوال أضلاع المثلث الثلاثة، فيمكننا استخدام أي من النسب الثلاث. في هذا السؤال، سنختار استخدام نسبة ظل الزاوية. ظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. إذن، في هذا السؤال، ظا ﺃ يساوي ثلاثة على أربعة، أو ثلاثة أرباع. لإيجاد قيمة ﺃ، نحسب الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، حيث ﺃ يساوي الدالة العكسية لـ ظا لثلاثة أرباع. وبعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، نكتب هذا على الآلة الحاسبة، وبذلك نحصل على الناتج ٣٦٫٨٦٩٨ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أنه مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب درجة، تصبح الإجابة ٣٧ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺃ هو ٣٧ درجة.
لحساب قياس الزاوية ﺟ، يمكننا استخدام إحدى النسب المثلثية مرة أخرى. لكن من المهم أن نلاحظ أن طول الضلع ﺃﺏ هو الآن الضلع المقابل، لأنه الضلع المقابل للزاوية ﺟ. وعلى نحو مماثل، يصبح طول الضلع ﺏﺟ هو الضلع المجاور. مرة أخرى، يمكننا استخدام أي من النسب الثلاث. باستخدام نسبة ظل الزاوية، نحصل على ظا ﺟ يساوي أربعة على ثلاثة. ثم بحساب الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين، فإن ﺟ يساوي الدالة العكسية لـ ظا لأربعة أثلاث. وعند تقريب ذلك لأقرب منزلة عشرية، نحصل على ٥٣ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺟ يساوي ٥٣ درجة. في هذه المرحلة، من المهم التحقق من أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث يساوي ١٨٠ درجة، لأن هذا ينطبق على مجموع أي ثلاث زوايا في المثلث.
إذن، الإجابات الثلاث لهذا السؤال هي طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي خمسة سنتيمترات، وقياس الزاوية ﺃ يساوي ٣٧ درجة، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ٥٣ درجة.
