فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الثانية لدالة معرفة بواسطة معادلات بارامترية باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ يساوي اثنين مضروبًا في ﻫ أس اثنين ﻥ، وﺹ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ، فأوجد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

معطى لنا في السؤال معادلتان بارامتريتان ومطلوب منا إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. حسنًا، قد نفكر في محاولة كتابتهما على الصورة الكارتيزية. لكن ذلك ليس ضروريًا إذ يمكننا استخدام قاعدة السلسلة.

نذكر أن قاعدة السلسلة تنص على أنه يمكننا حساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ باشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ أولًا، ثم ضرب ذلك في مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ. هذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

سنبدأ بإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ، التي تساوي مشتقة ﻥ مضروبة في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. نذكر أن قاعدة الضرب للاشتقاق تنص على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين ﺩ وﺭ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في ﺭ زائد مشتقة ﺭ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في ﺩ. وهكذا، سنجد أن مشتقة ﻥ مضروبة في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ زائد مشتقة ﻫ أس سالب اثنين ﻥ مضروبة في ﻥ.

نعلم أن مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي واحدًا. ونعلم أيضًا أن مشتقة ﻫ أس ﻙﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﻙ مضروبًا في ﻫ أس ﻙﻥ. وعليه، ستكون مشتقة ﻫ أس سالب اثنين ﻥ مساوية لسالب اثنين مضروبًا في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ. ينتج أن ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ﻫ أس سالب اثنين ﻥ ناقص اثنين ﻥ مضروبًا في ﻫ أس سالب اثنين ﻥ.

وفي هذه الخطوة، يمكننا أيضًا إخراج العامل المشترك ﻫ أس سالب اثنين ﻥ، لنحصل على ﻫ أس سالب اثنين ﻥ مضروبًا في واحد ناقص اثنين ﻥ. وبما أننا أوجدنا الآن تعبيرًا لـ ﺩﺹ على ﺩﻥ، وفقًا لقاعدة السلسلة، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩﻥ على ﺩﺱ.

لكن سيكون من الصعب إيجاد قيمة لـ ﺩﻥ على ﺩﺱ بطريقة مباشرة لأن ﺱ هو دالة في المتغير ﻥ. علينا إعادة صياغة معادلة ﺱ لنجعل ﻥ دالة في المتغير ﺱ. لكن، يمكننا الاستفادة من حقيقة أن ﺩﻥ على ﺩﺱ هو مقلوب ﺩﺱ على ﺩﻥ لإيجاد مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ أولًا، ومن ثم استخدام ذلك لإيجاد مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ.

نعرف أن مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ تساوي مشتقة اثنين مضروبة في ﻫ أس اثنين ﻥ بالنسبة إلى ﻥ، وهو ما يمكن حسابه لينتج لنا أربعة مضروبًا في ﻫ أس اثنين ﻥ. بعد ذلك سنوجد مقلوب هذه المشتقة، لنجد أن واحدًا مقسومًا على أربعة مضروبًا في ﻫ أس اثنين ﻥ يساوي مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ.

أصبحنا الآن مستعدين لاستخدام قاعدة السلسلة التي تنص على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ. أوضحنا سابقًا أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ﻫ أس سالب اثنين ﻥ مضروبًا في واحد ناقص اثنين ﻥ. وأوضحنا أيضًا أن مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على أربعة مضروبًا في ﻫ أس اثنين ﻥ. إذا أنزلنا ﻫ أس سالب اثنين ﻥ لأسفل وضربناه في المقام، فسيعطينا هذا مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحد ناقص اثنين ﻥ مقسومًا على ﻫ أس اثنين ﻥ مضروبًا في أربعة ﻫ أس اثنين ﻥ.

وأخيرًا، يمكننا تبسيط هذا التعبير لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ مقسومًا على أربعة مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ. لكن السؤال يطلب منا إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نعلم أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي اشتقاق مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. لكننا نعلم أيضًا أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ هي دالة في المتغير ﻥ. هذا يعني أنه سيكون من الصعب اشتقاقها مباشرة بالنسبة إلى ﺱ. لذا، علينا استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى.

وهكذا سنعود إلى قاعدة السلسلة. لكن هذه المرة، بدلًا من اشتقاق ﺹ، سنوجد مشتقة ﺩ التي تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نلاحظ أن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ. وبما أننا اخترنا الدالة ﺩ لتكون مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، فإن مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ ستكون هي المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.

نعرف أن ﺩ هي دالة في المتغير ﻥ. لذا يمكننا حساب مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﻥ. وكنا قد توصلنا سابقًا إلى أن مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا على أربعة في ﻫ أس اثنين ﻥ. هذا يعني أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة واحد ناقص اثنين ﻥ على أربعة مضروبة في ﻫ أس أربعة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في واحد مقسومًا على أربعة في ﻫ أس اثنين ﻥ. وهذا مجرد تطبيق لقاعدة السلسلة حيث نشتق الدالة ﺩ، التي عرفناها، لنساويها بمشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، وذلك بدلًا من اشتقاق ﺹ.

يمكننا الآن استخدام قاعدة القسمة، التي تنص على أن مشتقة قسمة ﻉ وﻕ تساوي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في ﻕ ناقص مشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻥ مضروبة في ﻉ الكل مقسوم على ﻕ تربيع. هذا يعني أنه إذا جعلنا ﻉ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ وﻕ يساوي أربعة مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ، فستكون مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ مساوية لسالب اثنين. ومشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ١٦ مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ. وبذلك، نجد أن مشتقة قسمة ﻉ وﻕ تساوي سالب اثنين مضروبًا في أربعة ﻫ أس أربعة ﻥ ناقص ١٦ مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ مضروبًا في واحد ناقص اثنين ﻥ الكل مقسوم على أربعة ﻫ أس أربعة ﻥ الكل تربيع.

يمكننا بعد ذلك الضرب فيما بداخل القوسين في البسط وتربيع المقام فينتج سالب ثمانية مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ ناقص ١٦ﻫ أس أربعة ﻥ زائد ٣٢ﻥﻫ أس أربعة ﻥ الكل مقسوم على ١٦ﻫ أس ثمانية ﻥ. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة في البسط ومن ثم إعادة الترتيب للحصول على بسط جديد، وهو ٣٢ مضروبًا في ﻥﻫ أس أربعة ﻥ ناقص ٢٤ﻫ أس أربعة ﻥ.

يمكننا حذف العامل المشترك ثمانية مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ من كل من البسط والمقام، فينتج لنا أربعة ﻥ ناقص ثلاثة على اثنين مضروبًا في ﻫ أس أربعة ﻥ. سنعوض بعد ذلك بهذا الناتج مرة أخرى في صيغة المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، التي أوجدناها باستخدام قاعدة السلسلة. وبهذا، نجد أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة ﻥ ناقص ثلاثة مقسومًا على اثنين ﻫ أس أربعة ﻥ، الكل مضروب في واحد على أربعة ﻫ أس اثنين ﻥ. وهو ما يمكننا حسابه لنتوصل إلى أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة ﻥ ناقص ثلاثة مقسومًا على ثمانية في ﻫ أس ستة ﻥ.