فيديو: حساب حاصل الضرب الثلاثي القياسي وحاصل الضرب الثلاثي الاتجاهي لثلاثة متجهات في فراغ ثلاثي الأبعاد

‪𝐔‬‏، ‪𝐕‬‏، ‪𝐖‬‏ ثلاثة متجهات؛ حيث ‪𝐔 = 〈1, 0, 2〉‬‏، ‪𝐕 = 〈−1, 0, 3〉‬‏، ‪𝐖 = 〈2, 0,−2〉‬‏. احسب ‪𝐔 ⋅ (𝐕 × 𝐖)‬‏، ‪𝐔 × (𝐕 × 𝐖)‬‏.

١١:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

‏𝐔 و𝐕 و𝐖 ثلاثة متجهات؛ حيث مركبات المتجه 𝐔 واحد وصفر واثنان، ومركبات المتجه 𝐕 سالب واحد وصفر وثلاثة، ومركبات المتجه 𝐖 اثنان وصفر وسالب اثنين. احسب المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، والمتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖.

تتضمن هذه المسألة إجراء عمليتي الضرب القياسي والضرب الاتجاهي للمتجهات. علينا أن نوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه 𝐔 في المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 في المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. الجزء المشترك هنا هو المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، أي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐕 و𝐖، وهو في حد ذاته متجه.

فلنوجد أولًا المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. يمكننا كتابة حاصل الضرب الاتجاهي هذا في صورة محدد لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة، حيث يتكون الصف الأول منها من متجهات الوحدة في الاتجاهات 𝑥 و𝑦 و𝑧، أي المتجهات 𝑖 و𝑗 و𝑘. ويتكون الصف الثاني من مركبات المتجه الأول لحاصل الضرب الاتجاهي؛ وهي في هذه الحالة مركبات المتجه 𝐕: سالب واحد وصفر وثلاثة. أما الصف الثالث، فيتكون من مركبات المتجه الثاني لحاصل الضرب الاتجاهي، أي مركبات المتجه 𝐖: اثنان وصفر وسالب اثنين.

والآن نوجد قيمة هذا المحدد. يمكننا فك هذا المحدد باستخدام الصف الأول. إذن لدينا المتجه 𝑖 مضروب في محدد المصفوفة الناتجة عن إزالة الصف والعمود الخاصين بالمتجه 𝑖، ناقص المتجه 𝑗 مضروب في محدد المصفوفة الناتجة عن إزالة الصف والعمود الخاصين بالمتجه 𝑗، زائد المتجه 𝑘 مضروب في محدد المصفوفة الناتجة عن إزالة الصف والعمود الخاصين بالمتجه 𝑘.

يمكننا إيجاد قيمة المحددات ذات الشكل اثنين في اثنين بالطريقة العادية. وبالتبسيط، نحصل على صفر في اتجاه 𝑖 زائد أربعة في اتجاه 𝑗 زائد صفر في اتجاه 𝑘، ويمكننا كتابة ذلك في شكل المركبات صفر وأربعة وصفر. وبذلك نكون قد وجدنا مركبات المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. فلنفرغ مساحة هنا ونستخدم هذه المركبات لإيجاد المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، والمتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖.

حسنًا، ما هو ناتج المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖؟ نعلم مركبات المتجه 𝐔 من معطيات المسألة. مركبات المتجه 𝐔 هي واحد وصفر واثنان. وقد حصلنا توًا على مركبات المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. وهي صفر وأربعة وصفر. وإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في صيغة المركبات عملية مباشرة تمامًا. إنها حاصل ضرب المركبات في اتجاه 𝑥، زائد حاصل ضرب المركبات في اتجاه 𝑦، زائد حاصل ضرب المركبات في اتجاه 𝑧.

وفي كل مرة تكون فيها إحدى مركبات المتجه 𝐔 ليست صفرًا، تكون المركبة المناظرة لها للمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يساوي صفرًا. وعملية الجمع هذه سهلة جدًا. صفر زائد صفر زائد صفر، يساوي صفرًا. قبل أن ننتقل إلى إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، لنتوقف لحظة وننظر إلى المعنى الهندسي لكون الضرب القياسي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يساوي صفرًا.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين 𝐴 و𝐵 يكون صفرًا عندما يكون المتجهان 𝐴 و𝐵 عموديين. إذن، فكون المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يساوي صفرًا، فالمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 عموديان. المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 عمودي على كل من المتجه 𝐕 والمتجه 𝐖. وربما تعلم أنه على الأقل عندما يكون المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يساوي عددًا غير الصفر، يكون المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 عموديًا على المستوى الذي يحتوي المتجهين 𝐕 و𝐖.

وبما أن المتجه 𝐔 عمودي على الخط العمودي على المستوى الذي يحتوي المتجهين 𝐕 و𝐖، لا بد وأن المتجه 𝐔 يقع في هذا المستوى. في الواقع يمكننا أن ندرك من المسألة أن المركبات في اتجاه 𝑦 للمتجهات 𝐔 و𝐕 و𝐖 كلها أصفار. لذا تقع المتجهات كلها 𝐔 و𝐕 و𝐖 في المستوى 𝑥𝑧. كان بإمكاننا استنباط أن المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يساوي صفرًا من دون إجراء أي حسابات، فقط بمعرفة معلومة أن المتجهات الثلاثة 𝐔 و𝐕 و𝐖 تقع في نفس المستوى.

سنرجع إلى هذه النقطة في نهاية الفيديو، لكن دعونا أولًا نحسب المتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. وما هذا إلا حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. كل ما في الأمر أن أحد المتجهات هو حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين آخرين. إن أردت، يمكنك تسمية المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 «المتجه 𝐴»، وسنبحث إذن عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين 𝐔 و𝐴.

ونحسب ذلك باستخدام المحددات كما فعلنا سابقًا مع متجهات الوحدة 𝑖 و𝑗 و𝑘 في الصف الأول، ومركبات المتجه 𝐔 في الصف الثاني، ومركبات المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، أو 𝐴، في الصف الثالث. مرة أخرى، نفك المحددات باستخدام الصف الأول، ونوجد قيمة كل محدد اثنين في اثنين بالطريقة العادية.

وبالكتابة في صيغة المركبات، نرى أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 له المركبات سالب ثمانية وصفر وأربعة. وبذلك نكون قد وجدنا كلًا من حاصل الضرب القياسي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖. منذ قليل وعدت بشرح بعض التفسيرات الهندسية لهذه الأمور. المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يسمى حاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات 𝐔 و𝐕 و𝐖. والمتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 هو حاصل الضرب الثلاثي الاتجاهي للمتجهات 𝐔 و𝐕 و𝐖.

وكلاهما نواتج ثلاثية إذ يشملان ثلاثة متجهات 𝐔 و𝐕 و𝐖. إلا أن المتجه 𝐔 ضرب قياسي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يعطي كمية قياسية، بعبارة أخرى عددًا، وهو في هذه الحالة صفر، بينما المتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 يعطي متجهًا، وهو في هذه الحالة المتجه ذو المركبات سالب ثمانية وصفر وأربعة. ولحاصل الضرب الثلاثي القياسي شكل هندسي لطيف.

مثلما أن مقدار المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 هو مساحة متوازي الأضلاع ذي الضلعين 𝐕 و𝐖، والقيمة المطلقة لحاصل الضرب الثلاثي القياسي للمتجهات 𝐔 و𝐕 و𝐖 هي حجم متوازي السطوح الثلاثي الأبعاد ذي الأحرف 𝐔 و𝐕 و𝐖. ومثلما أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي صفرًا أو له قيمة صفرية، يعني أن هذين المتجهين متوازيان أو يقعان على الخط نفسه.

يخبرنا حاصل الضرب الثلاثي القياسي لثلاثة متجهات أنها تقع في المستوى نفسه. أما حاصل الضرب الثلاثي الاتجاهي فاستنباطه هندسيًا أصعب قليلًا. لكن بما أنه عمودي على المتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖، يمكنك بقليل من الجهد الاقتناع بأنه يقع ولا بد في المستوى نفسه الذي يحتوي المتجهين 𝐕 و𝐖. وبجهد أكبر قليلًا، يمكنك كتابته بوضوح في صورة تركيب خطي من المتجهين 𝐕 و𝐖.

ثمة شيء أخير نلاحظه هنا، وهو أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 والمتجه 𝐕 ضرب اتجاهي المتجه 𝐖 لا يساوي حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه 𝐔 ضرب اتجاهي المتجهين 𝐕 و𝐖. مكان الأقواس مهم جدًا هنا. والمصطلح المناسب لوصف هذه الظاهرة هو أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ليس تجميعيًا. وهذا يميزه، لا عن الضرب العادي للأعداد الحقيقية فقط، بل يميزه أيضًا عن ضرب المصفوفات، الذي هو تجميعي رغم كونه غير إبدالي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.