نسخة الفيديو النصية
أوجد طول الضلع ﺏﺟ في الشكل المعطى.
بالنظر إلى الشكل، نرى مثلثين: المثلث ﺃﺩﺟ والمثلث ﺃﺩﺏ. ﺏﺟ هو طول الخط الذي يصل بين النقطتين ﺏ وﺟ. ولا نعلم طول هذا الخط، لكنه معطى بدلالة المتغير ﺱ الذي لا نعرف قيمته. لحل المسألة، علينا البحث عن طريقة لإيجاد قيمة ﺱ حتى نتمكن من حساب طول الضلع ﺏﺟ.
سنتعامل مع هذه المسألة باستخدام المثلثات المتطابقة. ما نريد توضيحه بداية هو أن المثلثين ﺃﺩﺟ وﺃﺩﺏ متطابقان. لنلق نظرة أقرب. المثلثان قائما الزاوية. ونفهم ذلك من علامة الزاوية القائمة في أحد المثلثين، ولأن الخط ﺏﺟ خط مستقيم، فهذا يعني أن الزاوية التي في الجانب الآخر زاوية قائمة أيضًا. وفي محاولة إثبات تطابق هذين المثلثين، سنستخدم نظريات تطابق المثلثات القائمة الزاوية.
فلننظر أولًا إلى ما نعرفه عن هذين المثلثين. وترا المثلثين متساويان. ونفهم ذلك من الشرطتين الزرقاوين المستخدمتين للإشارة إلى أن الخطين متساويان في الطول. إذن يمكننا كتابة العبارة: طول الضلع ﺃﺟ يساوي طول الضلع ﺃﺏ. لدينا إذن معلومة تتعلق بوتري المثلثين.
لننتقل الآن إلى ضلع آخر من أضلاع المثلثين، وهو الضلع ﺃﺩ. ﺃﺩ ضلع مشترك، حيث يوجد في كلا المثلثين. وهذا يعني أن هناك ضلعين آخرين في كلا المثلثين متساويين في الطول. وهذه معلومة أخرى تتعلق بضلعين متناظرين في المثلثين. فلنسترجع الآن نظريات تطابق المثلثات القائمة الزاوية واضعين في اعتبارنا المعلومتين اللتين توصلنا إليهما، وتنص إحدى هذه النظريات على أنه إذا كان الوتر والساق في المثلث القائم الزاوية مطابقين للوتر والساق المناظرة في مثلث آخر قائم الزاوية، فإن المثلثين متطابقان. وبناء عليه، أثبتنا أن المثلث ﺃﺩﺟ مطابق للمثلث ﺃﺩﺏ.
كل هذا يعني أنه إذا كان المثلثان متطابقين، فلا بد أن يكون الضلع الثالث في كل منهما مساويًا في الطول لنظيره في الآخر، أي إن طول الضلع ﺩﺟ يساوي طول الضلع ﺩﺏ. طول كل من هذين الضلعين معطى بدلالة المتغير ﺱ، وهذا يعني أنه يمكننا صياغة معادلة تتضمن ﺱ. المعادلة هي أربعة ﺱ ناقص واحد يساوي ثلاثة ﺱ زائد اثنين. يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.
الخطوة الأولى هي طرح ثلاثة ﺱ من طرفي المعادلة. وبذلك نحصل على ﺱ ناقص واحد يساوي اثنين. بعد ذلك، علينا إضافة واحد إلى طرفي المعادلة. وبذلك نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة. وهكذا نكون قد أوجدنا قيمة ﺱ. لكننا لم ننته من حل المسألة بعد. تطلب منا المسألة إيجاد طول الضلع ﺏﺟ.
لنعد إذن إلى الشكل لنرى المقدار المعبر عن طول الضلع ﺏﺟ. يمكن إيجاد طول ﺏﺟ بإضافة طول ﺏﺩ إلى طول ﺩﺟ. وبدلالة ﺱ، فهذا يعني أننا نجمع ثلاثة ﺱ زائد اثنين زائد أربعة ﺱ ناقص واحد. المقدار المبسط المعبر عن ﺏﺟ إذن هو سبعة ﺱ زائد واحد. ولإيجاد طول ﺏﺟ، علينا التعويض بقيمة ﺱ التي أوجدناها للتو: ﺱ يساوي ثلاثة. إذن ﺏﺟ يساوي سبعة في ثلاثة، زائد واحد، ما يعطينا ٢٢ أو ٢٢ وحدة، لطول الضلع ﺏﺟ.
في هذه المسألة، لم ندخل مباشرة في صياغة المعادلة وحلها. بل كان علينا أولًا إثبات أن المثلثين متطابقان عن طريق استرجاع نظريات التطابق الخاصة بالمثلثات القائمة الزاوية. وبمجرد إثبات التطابق، استطعنا صياغة المعادلة وحلها لإيجاد طول الضلع ﺏﺟ.
