فيديو: إيجاد طول قوس من منحنى دالة متجهة معرَّفة بالمعادلات البارامترية في فترة معطاة

احسب طول قوس د(ن) = ((ن^٢ + ١) جتا ن، (ن^٢ + ١) جا ن، ٢ جذر (٢) ن) على الفترة [٠، ١].

٠٦:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

احسب طول قوس د ن بيساوي ن تربيع زائد الواحد مضروبة في جتا ن، ده في اتجاه السينات. وَ ن تربيع زائد الواحد، في الـ جان، في اتجاه الصادات. واتنين جذر اتنين، ن، في اتجاه الـ ع. على الفترة المغلقة صفر إلى واحد.

لو سمّينا المركِّبة دي س، والمركِّبة دي ص، والمركِّبة دي ع. هيبقى طول القوس يساوي تكامل من أ إلى ب، بداية الفترة إلى نهاية الفترة، للجذر التربيعي للمشتقة الأولى للـ س بالنسبة للـ ن الكل تربيع. زائد المشتقة الأولى للـ ص بالنسبة للـ ن الكل تربيع. زائد المشتقة الأولى للـ ع بالنسبة للـ ن الكل تربيع. ده كله هنكامله بالنسبة للـ ن.

هنوجد المشتقة الأولى للـ س بالنسبة للـ ن، هتساوي … ن تربيع زائد الواحد، في جتا ن لمّا هنشتقّها، هتبقى دالتين مضروبين في بعض. يبقى مشتقة حاصل الضرب الأولى في مشتقة التانية، اللي هي جتا ن، لمّا هنشتقها هتبقى سالب جا ن. زائد التانية، اللي هي جتا ن، في مشتقة الأولى، اللي هي ن تربيع زائد الواحد. لمّا هنشتقّها، ن تربيع بتبقى اتنين ن، والواحد اشتقاقه بصفر. يبقى زائد، جتا ن في اتنين ن. ده هيساوي سالب، ن تربيع زائد الواحد، في الـ جا ن. زائد اتنين ن جتا ن.

هنوجد مربع الـ د س دن. هيساوي … مربع الحد الأول. يبقى سالب، ن تربيع زائد الواحد، في الـ جا ن، تربيع. زائد … ضعف الأول في التاني. سالب في، ن تربيع زائد الواحد، في الـ جا ن، في اتنين ن جتا ن. زائد … مربع الحد التاني، يبقى أربعة ن تربيع جتا تربيع ن. يبقى د س دن تربيع، هتساوي ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع في جا تربيع ن. ناقص أربعة ن، في ن تربيع زائد الواحد، في جا ن جتا ن. زائد أربعة ن تربيع جتا تربيع ن.

بنفس الطريقة هنشتقّ الـ ص بالنسبة للـ ن. هتبقى ن تربيع زائد الواحد، في جا ن، دالتين مضروبين في بعض. يبقى مشتقة حاصل ضرب دالتين. يبقى الأول في مشتقة التاني جتا ن. زائد التاني، اللي هو جا ن، في … مشتقة الأول ن تربيع، هيبقى اشتقاقها اتنين ن. وهنوجد التربيع، بنفس الطريقة. مربع الحد الأول، ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع جتا تربيع ن. زائد ضعف الأول في التاني، اتنين في اتنين ن، في ن تربيع زائد الواحد، في جا ن جتا ن. ومربع التاني، أربعة ن تربيع جا تربيع ن.

هنوجد د ع بالنسبة للـ ن، وبعدين نوجد لها التربيع. يبقى د ع بالنسبة للـ ن، اتنين جذر اتنين، ن لمّا هنشتقّها، هتبقى اتنين جذر اتنين. وبعدين هنوجد التربيع، يبقى هتساوي تمنية. هنجمع دي زائد دي زائد دي، ونحطّهم تحت الجذر التربيعي؛ علشان نوجد لهم التكامل من بداية الفترة لنهاية الفترة بالنسبة للـ ن. يبقى طول القوس هيساوي تكامل من صفر لواحد، للجذر التربيعي لمجموع واحد، واتنين، وتلاتة. واحد فيه ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع جا تربيع ن. لمّا هنجمعها على ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع جتا تربيع ن. نقدر ناخد ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع مشترك. يبقى اتبقّى عندنا جا تربيع ن زائد جتا تربيع ن.

الحد ده هو نفسه الحد ده بإشارة مخالفة، يبقى قيمتهم هتساوي صفر لمّا هنجمعهم. الحد ده أربعة ن تربيع جتا تربيع ن، وأربعة ن تربيع جا تربيع ن. ناخد أربعة ن تربيع مشترك. يبقى هتبقى أربعة ن تربيع في، جتا تربيع ن زائد جا تربيع ن. زائد … تالت معادلة اللي هي تساوي تمنية. كل ده هنكامله بالنسبة للـ ن. من المتطابقات المثلثية، جا تربيع ن زائد جتا تربيع ن تساوي واحد. يبقى طول القوس هيساوي التكامل من صفر لواحد، للجذر التربيعي … ن تربيع زائد الواحد الكل تربيع، هتبقى ن أُس أربعة، مربع الأول. زائد … ضعف الأول في التاني، يبقى اتنين ن تربيع. زائد … مربع التاني اللي هو واحد. زائد أربعة ن تربيع زائد تمنية. كل ده تحت الجذر. هنوجد التكامل بالنسبة للـ ن.

لمّا هنجمّع الحدود المتشابهة، يبقى ن أُس أربعة زائد ستة ن تربيع زائد تسعة. نقدر نحطّها في صورة مربع كامل، اللي هو ن تربيع زائد تلاتة الكل تربيع. لمّا هنحطّ ده تحت الجذر، هيبقى بالشكل ده: ن تربيع زائد تلاتة الكل تربيع تحت الجذر. التربيع هنختصرها مع الجذر. يبقى هنكامل من صفر لواحد للـ ن تربيع زائد التلاتة بالنسبة للـ ن.

لمّا هنكامل الـ ن تربيع، يبقى هنزوّد الأُس واحد، يبقى ن تكعيب، ونقسم على الأُس الجديد. زائد … التلاتة تكاملها هيبقى تلاتة ن. وهنعوّض بالفترة من صفر لواحد. يبقى مرة هنحطّ الـ ن بواحد، وبعدين مرة ن بصفر، ونطرحهم من بعض. يبقى لمّا هنعوّض بالـ ن تساوي واحد، يبقى واحد على تلاتة، زائد تلاتة. ناقص … التعويض بالصفر، هيبقى القيمة صفر. يبقى هتساوي تُلت زائد تلاتة، يبقى عشرة على تلاتة. ويبقى هي دي قيمة طول القوس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.