تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: متطابقات فيثاغورث

أحمد لطفي

يوضح الفيديو تعريف متطابقات فيثاغورس الثلاث وطريقة إثباتهم.

٠٤:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن متطابقات فيثاغورس، وهنعرف إيه هم متطابقات فيثاغورس التلاتة، وإزاي هنقدر نثبته. في البداية، متطابقات فيثاغورس هم تلاتة متطابقات. أول متطابقة هي: جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 تساوي واحد. تاني متطابقة هي: واحد زائد ظا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃. تالت متطابقة هي: واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 بتساوي قتا تربيع 𝜃. في صفحة جديدة، هنثبت أول متطابقة من متطابقات فيثاغورس، وهي: جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 بتساوي واحد، باستخدام دائرة الوحدة.

هنرسم دائرة وحدة بالشكل ده. دائرة الوحدة هي دايرة، نصف قطرها واحد. وهنرسم بداخلها مثلث قائم الزاوية، بالشكل ده. وهنفرض إن الزاوية دي زاوية 𝜃، وإن الضلع ده هسميه س، والضلع ده ص، وطول الوتر بواحد. باستخدام نظرية فيثاغورس لمثلث قائم الزاوية، هنلاقي إن س تربيع زائد ص تربيع بتساوي واحد.

وباستخدام تعريف الدوال المثلثية، هنلاقي إن جتا 𝜃 بتساوي المجاور على الوتر، يعني هتساوي س على واحد؛ يعني بتساوي س. وَ جا 𝜃 بتساوي المقابل على الوتر. يعني هتساوي ص على واحد؛ يعني بتساوي ص. بالتعويض في المعادلة: س تربيع زائد ص تربيع بتساوي واحد. هنلاقي إن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 بتساوي واحد. وهو ده إثبات متطابقة جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 بتساوي واحد.

في صفحة جديدة، هنثبت تاني متطابقة من متطابقات فيثاغورس. وهي: واحد زائد ظا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃. هنكتب الطرف الأيمن مرة كمان؛ واحد زائد ظا تربيع 𝜃. باستخدام المتطابقات المثلثية الأساسية، ظا تربيع 𝜃 بتساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃 الكل تربيع. يعني هيساوي واحد زائد جا تربيع 𝜃، مقسومة على جتا تربيع 𝜃. الواحد ممكن أكتبها في صورة: جتا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃. وهيكون زائد جا تربيع 𝜃، مقسوم على جتا تربيع 𝜃.

هوحّد المقامات. هيكون المقام عندي جتا تربيع 𝜃، والبسط جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃. باستخدام أول متطابقة من متطابقات فيثاغورس، جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 بتساوي واحد، والمقام جتا تربيع 𝜃. واحد على جتا تربيع 𝜃، باستخدام المتطابقات المثلثية الأساسية، بتساوي قا تربيع 𝜃. بالتالي قدرت أثبت المتطابقة واحد زائد ظا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃.

ممكن أثبت المتطابقة بطريقة أخرى، باستخدام المتطابقة الأولى من متطابقات فيثاغورس. هقسم الطرفين على جتا تربيع 𝜃. فهيبقى عندي جا تربيع 𝜃 مقسومة على جتا تربيع 𝜃، زائد جتا تربيع 𝜃 مقسومة على جتا تربيع 𝜃، بتساوي واحد على جتا تربيع 𝜃. جا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 بتساوي ظا تربيع 𝜃. زائد … جتا تربيع 𝜃 على جتا تربيع 𝜃 بتساوي واحد. وواحد على جتا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃. وممكن أكتبها في صورة: واحد زائد ظا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃.

وبكده قدرت أثبت متطابقة: واحد زائد ظا تربيع 𝜃 بتساوي قا تربيع 𝜃، باستخدام طريقة أخرى. وبالمثل بالظبط، ممكن أقدر أثبت المتطابقة التالتة من متطابقات فيثاغورس هي: واحد زائد ظتا تربيع 𝜃 بتساوي قتا تربيع 𝜃. وبكده قدرت أعرف إيه هم متطابقات فيثاغورس التلاتة، وقدرت أعرف إزَّاي هقدر أثبتهم.