فيديو: إيجاد خطي التقارب الرأسي والأفقي لدالة كسرية

أوجد خطي التقارب الرأسي والأفقي للدالة ‪𝑓(𝑥) = (3𝑥² − 1)/(5𝑥² + 3)‬‏.

٠٦:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد خطي التقارب الرأسي والأفقي للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص واحد على خمسة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة.

ما المقصود بخط التقارب الرأسي لدالة ما؟ هو خط رأسي يقترب منحنى الدالة منه أكثر فأكثر. وهناك طرق شتى لاقتراب الدالة منه. فقد تقترب الدالة إلى ما لا نهاية من جهة اليسار وإلى سالب ما لا نهاية من جهة اليمين أو العكس. أو قد تساوي النهايتان اليسرى واليمنى ما لا نهاية. في هذه الحالة، قد تساوي النهاية نفسها ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية. أو قد تكون إحدى النهايتين الأحاديتي الجانب قيمة محدودة والأخرى تساوي ما لا نهاية.

مرة أخرى، هناك طرق شتى قد يحدث بها ذلك للدالة العامة. ولكن لدينا نوعًا خاصًا من الدوال، وهي الدالة الكسرية. إذ تتكون خطوط التقارب الرأسية للدالة الكسرية بسبب وجود أصفار في المقام. ولكن لا يعني هذا أن كل صفر في مقام الدالة الكسرية يعطينا خط تقارب رأسيًا. على سبيل المثال، الدالة الكسرية 𝑥 ناقص واحد على 𝑥 ناقص واحد بها صفر في حالة 𝑥 يساوي واحد. ولكن منحنى هذه الدالة هو الخط المستقيم 𝑦 يساوي واحد مع إزالة نقطة واحدة. وهي النقطة التي إحداثيها على المحور 𝑥 يساوي واحدًا ولا يمثل الخط 𝑥 يساوي واحد خط تقارب رأسيًا لهذه الدالة. إذن لا يضمن وجود الصفر في المقام إنتاج خط تقارب. ولكن في حالة وجود خط تقارب، فمن المؤكد أن السبب في إنتاجه هو وجود الصفر في المقام.

فما هي أصفار المقام، خمسة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة؟ بطرح ثلاثة من كلا الطرفين والقسمة على خمسة، نلاحظ أن 𝑥 تربيع يساوي عددًا سالبًا، وهو سالب ثلاثة أخماس. ولا يوجد عدد حقيقي يعطي عند تربيعه قيمة سالبة. إذن لا يوجد لهذه المعادلة حل في مجموعة الأعداد الحقيقية. ومن ثم، لا توجد خطوط تقارب رأسية.

فلننتقل إلى محاولة إيجاد خطوط تقارب أفقية. خط التقارب الأفقي هو خط أفقي يقترب منه منحنى الدالة؟ بالنسبة إلى خطوط التقارب الأفقية، فهناك عدد أقل من الحالات الواجب التفكير فيها. فالخط 𝑦 يساوي 𝐿 هو خط تقارب أفقي لمنحنى الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، إذا كانت نهاية 𝑓 في المتغير 𝑥، عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية، تساوي 𝐿 أو كانت نهاية 𝑓 في المتغير 𝑥، عندما يقترب 𝑥 من ما لا نهاية، تساوي 𝐿. إذن لا توجد نهاية لعدد خطوط التقارب الرأسية لمنحنى الدالة. ومن ثم، يمكن أن يكون للدالة خطا تقارب أفقيان فقط، أحدهما عندما يقترب 𝑥 من ما لا نهاية والآخر عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية.

وبالتالي، لإيجاد أي خطوط تقارب أفقية، نوجد نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية، ونهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من ما لا نهاية. ونستخدم تعريف الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. ويمكننا معرفة قيمة هذه النهاية بقسمة كل من البسط والمقام على أعلى أس تراه لـ 𝑥. وهو في هذه الحالة 𝑥 تربيع. وبعد التبسيط، نحصل على نهاية ثلاثة ناقص واحد على 𝑥 تربيع على خمسة زائد ثلاثة على 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية. وبالاستفادة من حقيقة أن نهاية خارج القسمة هو خارج قسمة النهاية، ما دامت قيمة النهاية في المقام غير صفرية، ونهاية المجموع أو الفرق هي مجموع النهايات أو الفرق بينها، نستنتج ما يلي.

نهاية الدالة الثابتة ثلاثة، عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية، هي ثلاثة. وبالمثل، فإن نهاية الدالة الثابتة خمسة، عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية، هي خمسة. إذن يمكننا حذف علامتي النهاية هاتين. ويصبح كل من النهايتين الأخريين، نهاية واحد على 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية، ونهاية ثلاثة على 𝑥 تربيع عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية؛ صفرًا. فيتبقى لدينا ثلاثة على خمسة. وبالاستفادة مما نعرفه عن خطوط التقارب الأفقية، يصبح الخط 𝑦 يساوي ثلاثة على خمسة هو خط تقارب أفقي لمنحنى الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. إذن كانت هذه نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من سالب ما لا نهاية. فماذا عن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما يقترب 𝑥 من ما لا نهاية؟ كل ما علينا فعله هو تحويل كل ما هو سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. فكما نرى حصلنا على الناتج نفسه، وهو ثلاثة أخماس. وبالتالي لم نجد خط تقارب أفقيًا آخر. فهناك خط واحد فقط معادلته 𝑦 يساوي ثلاثة أخماس.

هذه هي إذن الإجابة النهائية. بناء على ذلك، ليس للدالة خط تقارب رأسي ولها خط تقارب أفقي عند 𝑦 يساوي ثلاثة أخماس. وقد أوجدنا كل ذلك دون التمثيل البياني للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص واحد على خمسة 𝑥 تربيع زائد ثلاثة. قد تحتاج الآن إلى تمثيل الدالة بيانيًا للتأكد من الإجابة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.