فيديو: إيجاد قيمة تكامل ثنائي

أوجد قيمة التكامل الثنائي، ‪∫_(0)^(𝜋) ∫_(0)^(𝑦) sin 𝑥 d𝑥 d𝑦‬‏.

٠٣:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة التكامل الثنائي، التكامل بين ‪𝜋‬‏ وصفر للتكامل بين ‪𝑦‬‏ وصفر لـ ‪sin 𝑥 d𝑥 d𝑦‬‏.

التكاملات الثنائية هي إحدى طرق التكامل على منطقة ثنائية الأبعاد. من بين عدة أشياء أخرى، تساعدنا التكاملات الثنائية على حساب الحجم أسفل سطح ما. والتكامل الثنائي، كما يوحي اسمه، يتطلب منا إجراء التكامل مرتين.

في هذا السؤال تحديدًا، علينا أولًا حساب تكامل ‪sin 𝑥 d𝑥‬‏ بين الحدين ‪𝑦‬‏ وصفر. بعد ذلك سنحسب تكامل هذا الناتج بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ بين الحدين ‪𝜋‬‏ وصفر. تكامل ‪sin 𝑥‬‏ بالنسبة لـ ‪𝑥‬‏ يعطينا سالب ‪cos 𝑥‬‏. وهذا هو أحد التكاملات القياسية المعروفة التي علينا تذكرها.

كما هو الحال دائمًا مع التكاملات المحددة، علينا التعويض بالحدين العلوي والسفلي ثم طرح الناتجين. التعويض بـ ‪𝑦‬‏ يعطينا سالب ‪cos 𝑦‬‏. ‏‏‪Cos‬‏ أو جيب التمام لصفر يساوي واحدًا. ويعني هذا أن سالب ‪cos‬‏ صفر يساوي سالب واحد. يتبقى لدينا سالب ‪cos 𝑦‬‏ ناقص سالب واحد. بما أن لدينا سالبين يتحولان إلى موجب، فإن ناتج تكامل ‪sin 𝑥 d𝑥‬‏ بين ‪𝑦‬‏ وصفر هو سالب ‪cos 𝑦‬‏ زائد واحد.

علينا الآن حساب تكامل هذا المقدار بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ بين ‪𝜋‬‏ وصفر. تكامل سالب ‪cos 𝑦‬‏ يساوي سالب ‪sin 𝑦‬‏. وتكامل واحد يساوي ‪𝑦‬‏. وهذا معناه أن تكامل سالب ‪cos 𝑦‬‏ زائد واحد بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪sin 𝑦‬‏ زائد ‪𝑦‬‏.

ومرة أخرى، نعوض بالحدين. بالتعويض بـ ‪𝜋‬‏، يصبح لدينا سالب ‪sin 𝜋‬‏ زائد ‪𝜋‬‏. والتعويض بالحد السفلي يعطينا سالب ‪sin‬‏ صفر زائد صفر. ‏‏‪sin 𝜋‬‏ يساوي صفر. ‏‏‪sin‬‏ صفر يساوي صفر أيضًا. ويعني هذا أن ثلاثة حدود من الأربعة تساوي صفرًا. ويتبقى لنا موجب ‪𝜋‬‏. إذن تكامل سالب ‪cos 𝑦‬‏ زائد واحد بالنسبة لـ ‪𝑦‬‏ بين ‪𝜋‬‏ وصفر يساوي ‪𝜋‬‏.

إذن نقول إن التكامل الثنائي، أي التكامل بين ‪𝜋‬‏ وصفر للتكامل بين ‪𝑦‬‏ وصفر لـ ‪sin 𝑥 d𝑥 d𝑦‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.