فيديو السؤال: تحديد نوع التقعر للمنحنى المعرف بارامتريًّا الرياضيات

انظر المنحنى المعرف بارامتريًّا ﺱ = ١ + قا 𝜃 وﺹ = ١ + ظا 𝜃. حدد إذا ما كان هذا المنحنى مقعرًا لأعلى أو لأسفل أو ليس مقعرًا لأعلى ولا لأسفل، عند 𝜃 = 𝜋‏/‏٦.

٠٩:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

انظر المنحنى المعرف بارامتريًّا ﺱ يساوي واحدًا زائد قا 𝜃، وﺹ يساوي واحدًا زائد ظا 𝜃. حدد إذا ما كان المنحنى مقعرًا لأعلى أو لأسفل أو ليس مقعرًا لأعلى ولا لأسفل عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

معطى لنا في السؤال منحنى معرف بمعادلتين بارامتريتين؛ حيث ﺱ دالة ما في المتغير 𝜃، وﺹ دالة ما في المتغير 𝜃. علينا تحديد نوع تقعر هذا المنحنى عند النقطة التي فيها 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. لنبدأ بتذكر المقصود بتقعر المنحنى. يوضح لنا تقعر المنحنى إذا ما كانت خطوط مماس المنحنى تقع أعلى المنحنى أو أسفله.

يمكننا معرفة هذه المعلومة على وجه الخصوص باستخدام المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نعلم أنه إذا كان ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي قيمة موجبة، يكون المنحنى مقعرًا لأعلى عند هذه النقطة. ونعلم أيضًا أنه إذا كان ﺩ اثنان ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي قيمة سالبة، يكون المنحنى مقعرًا لأسفل عند هذه النقطة. إذن، لتحديد نوع تقعر المنحنى، كل ما علينا فعله هو إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لكن، لا يمكننا فعل ذلك مباشرة؛ لأن السؤال أعطانا منحنى معرفًا بارامتريًّا. لذا، سيكون علينا تذكر بعض قواعد اشتقاق المنحنيات المعرفة بارامتريًّا.

نذكر أولًا أنه يمكننا استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذا كانت ﺹ دالة في المتغير 𝜃 وﺱ دالة في المتغير 𝜃، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩ𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ولا يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 لا يساوي صفرًا. لكننا نريد إيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لذا، علينا اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك مرة أخرى باستخدام قاعدة السلسلة. وسنحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃 مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃.

وبالطبع، ما زلنا نشترط أن يكون المقام ﺩﺱ على ﺩ𝜃 لا يساوي صفرًا. لذا، لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع على المنحنى المعرف بارامتريًّا، علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. ولفعل ذلك، علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩ𝜃 وﺩﺱ على ﺩ𝜃. كما أن ﺱ وﺹ معطيان لنا بالفعل على صورة دالتين في المتغير 𝜃؛ لذا يمكننا فعل ذلك.

لنبدأ بإيجاد ﺩﺱ على ﺩ𝜃. هذا يساوي مشتقة واحد زائد قا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. لفعل ذلك، نتذكر إحدى نتائج المشتقات القياسية للدوال المثلثية. وهي أن مشتقة قا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي قا 𝜃 في ظا 𝜃. وبما أن مشتقة الثابت واحد تساوي صفرًا، سنحصل على ﺩﺱ على ﺩ𝜃 يساوي قا 𝜃 في ظا 𝜃.

يمكننا الآن فعل الأمر نفسه لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃. وهذا يساوي مشتقة واحد زائد ظا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃. مرة أخرى، علينا استخدام إحدى نتائج المشتقات القياسية للدوال المثلثية. وهي أن مشتقة ظا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي قا تربيع 𝜃. إذن، هذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩ𝜃 تساوي قا تربيع 𝜃. الآن وبعد أن أوجدنا تعبيرين لـ ﺩﺹ على ﺩ𝜃 وﺩﺱ على ﺩ𝜃، يمكننا استخدام الصيغة الموجودة لدينا لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ.

فنجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي قا تربيع 𝜃 مقسومًا على قا 𝜃 في ظا 𝜃. تذكر أنه لإيجاد ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع، علينا إيجاد مشتقة هذا التعبير بالنسبة إلى 𝜃. لذا، علينا تبسيط هذا التعبير إلى صورة يسهل اشتقاقها. في البداية، سنحذف العامل المشترك قا 𝜃 من البسط والمقام. لكن ما زال هذا عبارة عن قسمة دالتين. يمكننا إيجاد المشتقة هنا باستخدام قاعدة القسمة. لكننا سنبسط التعبير لجعل اشتقاقه أسهل.

لمساعدتنا في تبسيط هذا، علينا تذكر اثنين من المتطابقات المثلثية. ‏قا 𝜃 يساوي واحدًا مقسومًا على جتا 𝜃، وظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. باستخدام المتطابقتين المثلثيتين، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على جتا 𝜃 الكل مقسوم على جا 𝜃 مقسومًا على جتا 𝜃. وباستخدام طرق إعادة ترتيب الكسور أو بضرب كل من البسط والمقام في جتا 𝜃، يمكننا تبسيط هذا للحصول على واحد مقسومًا على جا 𝜃.

وبالطبع، نعلم أن واحدًا مقسومًا على جا 𝜃 يساوي قتا 𝜃. ومن المهم أن نلاحظ أن هذه دالة أسهل كثيرًا في الاشتقاق من دالة قا 𝜃 مقسومًا على ظا 𝜃. والآن نحن مستعدون تقريبًا لإيجاد تعبير لـ ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. لنبدأ بإيجاد تعبير للبسط. هذا يساوي مشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى 𝜃. ولقد أوضحنا بالفعل أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي قتا 𝜃. إذن، علينا إيجاد مشتقة قتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃.

هذه نتيجة مشتقة مثلثية قياسية. نعرف أن مشتقة قتا 𝜃 بالنسبة إلى 𝜃 تساوي سالب ظتا 𝜃 في قتا 𝜃. وبذلك، نكون قد أوجدنا تعبيرًا للبسط ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. فقد حصلنا على سالب ظتا 𝜃 في قتا 𝜃. والآن، كل ما علينا فعله هو قسمة هذا على ﺩﺱ على ﺩ𝜃. ولقد أوجدنا بالفعل ﺩﺱ على ﺩ𝜃. عرفنا أنه يساوي قا 𝜃 في ظا 𝜃.

إذن، باستخدام الصيغة الموجودة لدينا، نحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع يساوي سالب ظتا 𝜃 في قتا 𝜃 مقسومًا على قا 𝜃 مضروبًا في ظا 𝜃. والآن، يوجد بضع طرق مختلفة يمكننا بها متابعة الإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، كل ما علينا فعله هو تحديد نوع تقعر المنحنى عند النقطة التي فيها 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. لذا، يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة مباشرة في التعبير الذي حصلنا عليه. لكننا سنبسط هذا التعبير أولًا.

أولًا: سنستخدم حقيقة أن ظتا 𝜃 هي نفسها القسمة على ظا 𝜃. لذا، سنحذف ظتا 𝜃 من البسط، ثم نقوم بتربيع ظا 𝜃 في المقام. والآن، نريد تبسيط قتا 𝜃 مقسومًا على قا 𝜃. نعلم أنه يمكننا إعادة صياغة هذا على صورة: واحد على جا 𝜃 مقسومًا على واحد على جتا 𝜃. لكننا سنبسطه بضرب البسط والمقام في جتا 𝜃.

في المقام، يمكننا حذف جتا 𝜃 مع جتا 𝜃 لنحصل على واحد. وفي البسط، نحصل على جتا 𝜃 مقسومًا على جا 𝜃، لكن هذا يساوي أيضًا واحدًا مقسومًا على ظا 𝜃. إذن باستخدام ما توصلنا إليه، يمكننا إعادة كتابة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع على صورة سالب واحد مقسومًا على ظا تكعيب 𝜃. والآن، من السهل التعويض بقيمة 𝜃 التي تساوي 𝜋 على ستة في هذا التعبير.

وبإجراء ذلك، نحصل على ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع 𝜃، التي تساوي 𝜋 على ستة، يساوي سالب واحد على ظا تكعيب 𝜋 على ستة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب ثلاثة في الجذر التربيعي لثلاثة. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تكون سالبة عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. وعليه، يكون المنحنى مقعرًا لأسفل عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة. إذن، علمنا من المعطيات أن المنحنى المعرف بارامتريًّا ﺱ يساوي واحدًا زائد قا 𝜃 وﺹ يساوي واحدًا زائد ظا 𝜃. وعليه، تمكنا من إثبات أن هذا المنحنى يكون مقعرًا لأسفل عند 𝜃 تساوي 𝜋 على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.