فيديو السؤال: اشتقاق دوال بارامترية تتضمن نسبًا مثلثية وأسسًا طبيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ يساوي خمسة ﻥﻫ أس ﻥ وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ زائد أربعة جا ﻥ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

في هذا السؤال، بدلًا من أن يكون ﺹ معرفًا في صورة دالة في ﺱ، فإن كلًّا من ﺱ وﺹ معرفان بدلالة متغير ثالث، وهو ﻥ. يعرف هذا النوع من المعادلات باسم «المعادلات البارامترية». لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ، نذكر أنفسنا بقاعدة السلسلة التي تنص على أن المعادلة ﺩﺹ على ﺩﻥ تساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ مضروبًا في ﺩﺱ على ﺩﻥ. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وبالطبع، لا ينطبق هذا إلا إذا كان ﺩﺱ على ﺩﻥ، أي المقام، لا يساوي صفرًا.

علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻥ وﺩﺱ على ﺩﻥ. إن ﺩﺹ على ﺩﻥ هو مشتقة ﺹ يساوي ثلاثة ﻥ زائد أربعة جا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. يمكننا إجراء ذلك حدًّا تلو الآخر بدءًا بالحد ثلاثة ﻥ، الذي نعلم أن اشتقاقه يعطينا ثلاثة. أما الحد أربعة جا ﻥ، فنتذكر أن مشتقة جا ﻥ هي جتا ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. إذن، اشتقاق أربعة جا ﻥ يعطينا أربعة جتا ﻥ. ومن ثم، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة زائد أربعة جتا ﻥ.

والآن، علينا أيضًا إيجاد ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهو مشتقة ﺱ يساوي خمسة ﻥﻫ أس ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. علينا أن نلاحظ هنا أن لدينا دالتين في ﻥ مضروبتين معًا. لدينا خمسة ﻥ مضروبًا في ﻫ أس ﻥ. ولاشتقاق ذلك، علينا استخدام قاعدة حاصل الضرب. تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة الدالة ﺩ مضروبة في الدالة ﺭ تساوي ﺩ شرطة مضروبة في ﺭ زائد ﺩ مضروبة في ﺭ شرطة. تذكر أن الرمز ﺩ شرطة يعني مشتقة الدالة ﺩ.

في هذا السؤال، الدالة ﺩﻥ تساوي خمسة ﻥ، والدالة ﺭﻥ تساوي ﻫ أس ﻥ. ولكي نستخدم قاعدة حاصل الضرب، علينا إيجاد ﺩ شرطة لـ ﻥ وﺭ شرطة لـ ﻥ، أي مشتقة ﺩ ومشتقة ﺭ. حسنًا، نعلم أن مشتقة خمسة ﻥ تساوي خمسة. ولاشتقاق الدالة ﺭ، نتذكر حقيقة أن مشتقة ﻫ أس ﻥ تساوي ﻫ أس ﻥ. وهذه مجرد نتيجة عامة لاشتقاق الدالة الأسية.

يمكننا الآن التعويض بما أوجدناه في صيغة قاعدة حاصل الضرب. نجد أن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ﺩ شرطة مضروبًا في ﺭ، أي خمسة مضروبًا في ﻫ أس ﻥ زائد ﺩ مضروبًا في ﺭ شرطة، أي خمسة ﻥ مضروبًا في ﻫ أس ﻥ. إذن، وفقًا لقاعدة حاصل الضرب، فإن ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي خمسة ﻫ أس ﻥ زائد خمسة ﻥﻫ أس ﻥ. لاحظ أنه يمكننا أخذ خمسة ﻫ أس ﻥ كعامل مشترك، وهو ما يعطينا خمسة ﻫ أس ﻥ مضروبًا في واحد زائد ﻥ. ويمكننا أيضًا كتابة ذلك بطريقة أخرى على الصورة خمسة ﻫ أس ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ على ﺩﺱ على ﺩﻥ. يصبح لدينا إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة زائد أربعة جتا ﻥ على خمسة ﻫ أس ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد. وبذلك نكون قد حصلنا على الإجابة النهائية.