فيديو: إيجاد المساحة المحصورة بين دالتين تربيعيتين

أوجد مساحة الجزء المحصور بين المنحنيين ﺹ = ٣ﺱ^٢ − ٥ﺱ، ﺹ = −٥ﺱ^٢.

٠٤:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة الجزء المحصور بين المنحنيين ص تساوي تلاتة س تربيع ناقص خمسة س. وَ ص تساوي سالب خمسة س تربيع.

وقانون إيجاد المساحة المحصورة بين منحنيين باستخدام التكامل المحدّد هو كالتالي: م تساوي تكامل على الفترة المغلقة من أ لـ ب لـ د س ناقص ر س، بالنسبة لـ س. والقيمتين أ وَ ب هي حدود التكامل. فإمَّا إنه يدِّيها لي في المسألة أو يذكرها في المسألة. أمَّا لو لم يذكرها في المسألة، فده يعني أن المنحنيين يتقاطعان في نقطتين سيناتهم همّ أ وَ ب. وبالتالي أول خطوة هتكون بإيجاد نقط التقاطع بين المنحنيين. وده هيكون بحلّ معادلتيهما معًا. وده عن طريق إني أعوّض عن كل ص في المنحنى الأول بقيمتها في المنحنى التاني. وهي سالب خمسة س تربيع.

إذن سالب خمسة س تربيع تساوي تلاتة س تربيع ناقص خمسة س. إذن تمنية س تربيع ناقص خمسة س تساوي صفر. وبأخذ س عامل مشترك من حدَّيْ كثيرة الحدود، إذن س في، تمنية س ناقص خمسة يساوي صفر. إذن الإحداثيات السينية لنقط التقاطع هي إمَّا س تساوي صفر، أو س تساوي خمسة على تمنية.

وكخطوة إضافية لتسهيل تخيُّل شكل المنحنيين، وتسهيل تخيُّل شكل المساحة المحصورة بينهما، هنرسم المنحنيين. والمنحنى الأول اللي باللون الأحمر هو تلاتة س تربيع ناقص خمسة س. والمنحنى التاني اللي باللون الأزرق هو سالب خمسة س تربيع. وواضح جدًّا من الرسم إن المساحة المطلوبة المحصورة بين المنحنيين هي المساحة المظلَّلة بالأخضر دي. وإن حدود التكامل هي نقط التقاطع أو نقطتَي التقاطع بين المنحنيين.

وعند حساب المساحة، محتاج إني أعوّض بالدالة د س تكون هي الدالة الكبرى أو اللي لها قيم أكبر. وَ ر س تكون هي الدالة الصغرى أو اللي ليها قيم أصغر بين حدود التكامل. وده بيكون عن طريق إني بعوَّض في كل دالة عن قيمة بين قيمتَيْ حدود التكامل. يعني بعوَّض عن س بقيمة بين الصفر والخمسة على تمنية. ولتكن مثلًا نصّ.

فهجد إن قيمة الدالة التانية، اللي هي ص بتساوي سالب خمسة س تربيع، هي أكبر من قيمة الدالة الأولى ما بين القيمتين صفر وخمسة على تمنية. أو بطريقة أخرى، بمجرد النظر على الرسم، هجد إن المنحنى اللي باللون الأزرق هو أكبر دائمًا من المنحنى اللي باللون الأحمر. وده بين حدَّي التكامل صفر وخمسة على تمنية. وبالتالي لمّا هحسب المساحة هقول: تكامل من صفر لخمسة على تمنية، المنحنى التاني ناقص المنحنى الأول بالنسبة لـ س. أو للتسهيل، أقدر أضع علامة مقياس على التكامل؛ علشان أضمن إنه لو خرج من قيمة التكامل رقم سالب بالتالي تكون المساحة دائمًا موجبة.

وبتطبيق الكلام ده على القانون. إذن المساحة م تساوي تكامل من صفر لخمسة على تمنية، لسالب خمسة س تربيع، ناقص تلاتة س تربيع، زائد خمسة س، بالنسبة لـ س. هتساوي تكامل من صفر لخمسة على تمنية، لسالب تمنية س تربيع زائد خمسة س، بالنسبة لـ س. هتساوي سالب تمنية في … س تربيع هتبقى س تكعيب؛ لأني هزوّد الأُس واحد. وهقسم على الأُس بعد الزيادة، اللي هو تلاتة. زائد … خمسة س هتبقى خمسة س تربيع، وهقسم برضو على الأُس بعد الزيادة. والكلام ده هيكون من صفر إلى خمسة على تمنية.

وقيمة التكامل المحدَّد بيكون عن طريق إني بعوَّض بالقيمة العليا في المقدار اللي ظاهر عندي ناقص نفس المقدار، بعد التعويض بالقيمة السفلى. وبعد التعويض بالقيمة العليا، هجد إن المقدار بيساوي مية خمسة وعشرين على تلتمية أربعة وتمانين. وبعد التعويض بالقيمة السفلى، اللي هي الصفر، هجد إن المقدار يساوي صفر.

إذن المساحة تساوي مية خمسة وعشرين على تلتمية أربعة وتمانين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.