فيديو السؤال: إيجاد مساحة السطح الجانبية لمخروط في سياق واقعي الرياضيات

جبل مخروطي الشكل نصف قطره ١٫٥ كم، وارتفاعه العمودي ٠٫٥ كم. أوجد المساحة الجانبية للجبل، لأقرب منزلة عشرية.

٠٤:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

جبل مخروطي الشكل نصف قطره ١٫٥ كيلومتر، وارتفاعه العمودي ٠٫٥ كيلومتر. أوجد المساحة الجانبية للجبل، لأقرب منزلة عشرية.

هيا نبدأ برسم هذا الجبل الذي علمنا من المعطيات أنه مخروطي الشكل، إذن فهو على شكل مخروط. علمنا أن نصف قطره يساوي ١٫٥ كيلومتر، أي نصف قطر قاعدته الدائرية؛ وارتفاعه العمودي يساوي ٠٫٥ كيلومتر. ومن ثم، يبدو الجبل بهذا الشكل. مطلوب منا إيجاد المساحة الجانبية للجبل، وهي مساحة السطح المنحني للمخروط. لعلنا نتذكر أن صيغة حساب المساحة الجانبية للمخروط هي 𝜋نقﻝ؛ حيث نق نصف قطر المخروط، وﻝ طول راسم المخروط. وراسم المخروط هو المسافة من رأس المخروط إلى أي نقطة تقع على محيط القاعدة. وفي هذا الشكل، إنها المسافة الموضحة هنا، وقيمتها غير معطاة في السؤال.

يمكننا إيجاد قيمة ذلك إذا تذكرنا أن نصف قطر القاعدة والارتفاع العمودي وراسم المخروط تكون معًا مثلثًا قائم الزاوية. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. وفي هذا المثلث، الوتر هو الضلع المشار إليه بـ ﻝ كيلومتر، والضلعان القصيران هما الضلعان اللذان طولاهما ١٫٥ كيلومتر و٠٫٥ كيلومتر. بهذا نحصل على المعادلة ﻝ تربيع يساوي ١٫٥ تربيع زائد ٠٫٥ تربيع.

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد طول راسم المخروط. عند إيجاد قيمة كل من مربعي الطولين أولًا، نحصل على ﻝ تربيع يساوي ٢٫٢٥ زائد ٠٫٢٥، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢٫٥. ولحل هذا لإيجاد قيمة ﻝ، علينا حساب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع أخذ القيمة الموجبة فقط لأن ﻝ يمثل طولًا. وبذلك، نجد أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٫٥. هذا يساوي ١٫٥٨ تقريبًا. لكن بما أننا نريد استخدام قيمة ﻝ هذه في المرحلة التالية من الحل، فسنتركها على هذه الصورة.

نعود الآن إلى صيغة حساب المساحة الجانبية للمخروط، ونعوض بـ ١٫٥ عن نصف قطر القاعدة وبالجذر التربيعي لـ ٢٫٥ عن قيمة طول راسم المخروط. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٧٫٤٥٠ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال تقريب الناتج لأقرب منزلة عشرية. وبما أن الرقم الموجود في الخانة العشرية الثانية هو خمسة، فإننا نقرب لأعلى إلى ٧٫٥. ونظرًا لأن وحدة قياس أطوال الأضلاع في هذا السؤال هي الكيلومتر، فستكون وحدة المساحة هي الكيلومتر المربع.

إذن، من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس أولًا لحساب طول راسم المخروط، ثم إعادة استخدام صيغة حساب المساحة الجانبية للمخروط، وجدنا أن المساحة الجانبية لهذا الجبل لأقرب منزلة عشرية تساوي ٧٫٥ كيلومترات مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.