فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بمعادلات بارامترية تتضمن استخدام قاعدة حاصل الضرب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة ﻫ أس خمسة ﻥ وﺹ يساوي ﻥ في ﻫ أس سالب خمسة ﻥ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

في هذا السؤال، لدينا زوج من المعادلات البارامترية. وهما معادلتا ﺱ وﺹ بدلالة بارامتر ثالث، وهو ﻥ. مطلوب منا اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. نتذكر أنه إذا كان ﺩﺹ على ﺩﻥ لا يساوي صفرًا، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وبذلك نلاحظ أنه علينا اشتقاق معادلة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ، ومعادلة ﺹ بالنسبة إلى ﻥ.

نبدأ باشتقاق ﺱ بالنسبة إلى ﻥ‏. ‏‏ﺱ يساوي ثلاثة ﻫ أس خمسة ﻥ. نحن نعلم أنه لاشتقاق ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى القيمة الثابتة ﺃ، فإننا نحصل على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ. وفي هذا السؤال، نشتق ثلاثة ﻫ أس خمسة ﻥ. لذا، نضرب الحد بالكامل في معامل ﻥ، وهو خمسة. ونحصل على ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي خمسة في ثلاثة ﻫ أس خمسة ﻥ، وهو ما يساوي ١٥ﻫ أس خمسة ﻥ.

علينا بعد ذلك اشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻥ. لكننا نلاحظ أن ﺹ نفسه هو حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. فهو يساوي ﻥ في ﻫ أس سالب خمسة ﻥ. ومن ثم، سنستخدم قاعدة حاصل الضرب. تنص هذه القاعدة على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين القابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. حسنًا، الدالتان هما ﻥ وﻫ أس سالب خمسة ﻥ. إذن، ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ﻥ في مشتقة ﻫ أس سالب خمسة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ زائد ﻫ أس سالب خمسة ﻥ في مشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ.

أصبحنا نعرف الآن أن مشتقة ﻫ أس سالب خمسة ﻥ تساوي سالب خمسة ﻫ أس سالب خمسة ﻥ. ومشتقة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ ببساطة تساوي واحدًا. إذن، ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي ﻥ في سالب خمسة ﻫ أس سالب خمسة ﻥ زائد ﻫ أس سالب خمسة ﻥ، وهو ما يمكن تبسيطه كما هو موضح. ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي قسمة هاتين المشتقتين. أي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهو ما يساوي سالب خمسة ﻥﻫ أس سالب خمسة ﻥ زائد ﻫ أس سالب خمسة ﻥ الكل على ١٥ﻫ أس خمسة ﻥ.

نلاحظ هنا أن ﻫ أس سالب خمسة ﻥ هو نفسه واحد على ﻫ أس خمسة ﻥ، ونأخذه عاملًا مشتركًا، وهو واحد على ﻫ أس خمسة ﻥ. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة: واحد على ﻫ أس خمسة ﻥ في سالب خمسة ﻥ زائد واحد على ١٥ﻫ أس خمسة ﻥ. لكن بوجه عام، يمكننا كتابة هذا الكسر الثاني على الصورة: واحد ناقص خمسة ﻥ على ١٥ﻫ أس خمسة ﻥ. عند ضرب عددين بأسين، فإننا نجمع هذين الأسين. إذن، ﻫ أس خمسة ﻥ في ١٥ﻫ أس خمسة ﻥ يساوي ١٥ﻫ أس ١٠ﻥ.

وبذلك، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا ناقص خمسة ﻥ على ١٥ﻫ أس ١٠ﻥ.