نسخة الفيديو النصية
اكتب تكاملًا يعبر عن حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع، والمستقيمات: 𝑦 يساوي صفرًا و𝑥 يساوي سالب خمسة و𝑥 يساوي خمسة حول 𝑦 يساوي سالب خمسة.
في هذا السؤال، لدينا منطقة محددة بالمنحنى 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع، والمستقيم 𝑦 يساوي صفرًا، والمستقيمين الرأسيين 𝑥 يساوي موجب خمسة و𝑥 يساوي سالب خمسة. ونريد كتابة تكامل يعبر عن حجم المجسم الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المستقيم 𝑦 يساوي سالب خمسة. وهذا يعني أن المستقيم 𝑦 يساوي سالب خمسة هو محور الدوران.
قد يكون مفيدًا أن نحاول رسم المجسم الذي نريد إيجاد حجمه، لكن لاحظ أن هذين الرسمين ذوا مقياسين مختلفين. حسنًا، المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المعطاة ذو فلكات؛ أي أقراص مجوفة، على صورة مقاطع عرضية رأسية. ولكل مقطع من المقاطع العرضية نصف قطر داخلي وآخر خارجي. دعونا نطلق على نصف القطر الخارجي 𝑅𝑂، ونصف القطر الداخلي 𝑅𝐼. والآن، مع تذكر أن مساحة أي دائرة نصف قطرها 𝑟 تساوي 𝜋𝑟 تربيع، نجد أن مساحة قرص المقطع العرضي 𝐴𝐷 تساوي 𝜋 في 𝑅 الخارجي تربيع ناقص 𝜋 في 𝑅 الداخلي تربيع. وبأخذ 𝜋 خارج القوسين، نحصل على 𝜋 مضروبًا في 𝑅 الخارجي تربيع ناقص 𝑅 الداخلي تربيع.
إذا نظرنا الآن إلى نصف القطر الخارجي لأحد الأقراص الموجودة في الشكل الأصلي، نجد أنه يساوي المسافة من مركز الدوران؛ أي المستقيم 𝑦 يساوي سالب خمسة، إلى الدالة 𝑦 تساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع، وهو ما يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع زائد خمسة. ومن ثم، فإن نصف القطر الخارجي يتغير بناء على قيمة 𝑥. ونتذكر أن 𝑥 يتراوح بين سالب خمسة وموجب خمسة. إذا نظرنا بعد ذلك إلى نصف القطر الداخلي 𝑅𝐼، وهو المسافة بين المستقيم 𝑦 يساوي صفرًا والمستقيم 𝑦 يساوي سالب خمسة، فسنجد أنه يساوي خمسة.
حسنًا، لإيجاد حجم هذا المجسم، نحسب المجموع غير المنتهي لمساحات جميع أقراص المقاطع العرضية بين 𝑥 يساوي سالب خمسة و𝑥 يساوي موجب خمسة. وهذا يعني أن الحجم يساوي التكامل بين سالب خمسة وخمسة لمساحة القرص بالنسبة إلى 𝑥. ويكون التكامل بالنسبة إلى 𝑥؛ لأن محور الدوران يوازي المحور 𝑥. ولإيجاد الحجم، فإننا نحسب تكامل 𝜋 مضروبًا في نصف القطر الخارجي تربيع ناقص نصف القطر الداخلي تربيع بالنسبة إلى 𝑥 بين سالب خمسة وخمسة.
المطلوب منا هو كتابة تكامل يعبر عن هذا الحجم. لذا، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد نصف القطر الخارجي تربيع ناقص نصف القطر الداخلي تربيع. نصف القطر الخارجي تربيع يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع زائد خمسة تربيع؛ أي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب اثنين 𝑥 تربيع زائد ١٠ مضروبًا في 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع زائد ٢٥. ونصف القطر الداخلي تربيع يساوي خمسة تربيع؛ أي ٢٥. وبذلك يصبح لدينا نصف القطر الخارجي تربيع ناقص نصف القطر الداخلي تربيع يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب اثنين 𝑥 تربيع زائد ١٠𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع زائد ٢٥ ناقص ٢٥. وبما أن ٢٥ ناقص ٢٥ يساوي صفرًا، نجد أن نصف القطر الخارجي تربيع ناقص نصف القطر الداخلي تربيع يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب اثنين 𝑥 تربيع زائد ١٠𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع.
بإفراغ بعض المساحة، يمكننا التعويض بذلك في التكامل لدينا. هذا يعطينا الحجم الذي يساوي التكامل بين سالب خمسة وخمسة لـ 𝜋 مضروبًا في 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب اثنين 𝑥 تربيع زائد ١٠𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع بالنسبة إلى 𝑥. وبما أن بإمكاننا إخراج العامل 𝜋 خارج هذا التكامل، فإننا نحصل على حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى 𝑦 يساوي 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع والمستقيمات: 𝑦 يساوي صفرًا و𝑥 يساوي سالب خمسة و𝑥 يساوي موجب خمسة حول المستقيم 𝑦 يساوي سالب خمسة، والذي يساوي 𝜋 مضروبًا في التكامل بين 𝑥 يساوي سالب خمسة و𝑥 يساوي موجب خمسة لـ 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب اثنين 𝑥 تربيع زائد ١٠ مضروبًا في 𝑒 مرفوعًا للقوة سالب 𝑥 تربيع بالنسبة إلى 𝑥.
