فيديو: حل المسائل الكلامية التي تتضمَّن نموًّا أسيًّا

عُثِرَ في أحد مواقع التنقيب على قطعة أثرية خشبية تحتوي على ٦٠ بالمائة من عنصر الكربون ١٤ الذي يكون موجودًا في الأشجار الحية. لأقرب عام، ما عدد الأعوام التي مرَّت منذ قطْع الخشب المُستخدَم في صناعة القطعة الأثرية؟ (فترة عمر النصف للكربون ١٤ هي  ٥٧٣٠ عامًا).

٠٦:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

عُثِر في أحد مواقع التنقيب على قطعة أثرية خشبية تحتوي على ستين بالمئة من عنصر الكربون أربعتاشر الذي يكون موجودًا في الأشجار الحيَّة. لأقرب عام، ما عدد الأعوام التي مرَّت منذ قطع الخشب المستخدَم في صناعة القطعة الأثرية. علمًا بأن فترة عمر النصف للكربون أربعتاشر هي خمسة آلاف سبعمية وتلاتين عامًا؟

بيستخدم العلماء الدالة اللي قدامنا دي. اللي هي بنسمِّيها دالة التضاؤل الأُسّية. لتحديد عمر أيِّ حفريات بيلاقوها أو قطع أثرية بناءً على كمِّيَّة الكربون أربعتاشر اللي موجود فيها. دالة التضاؤل الأُسية دي اللي هي ص بيساوي أ هـ أُس سالب ك ن. حيث ص بيعبّر عن كمِّيَّة الكربون الموجودة في القطعة الأثرية اللي لقيناها دلوقتي. أمَّا أ فهو القيمة الابتدائية للكربون أربعتاشر في المادة اللي تمّ استخدامها في التصنيع في بداية عمرها.

يعني الخشب أول ما قطعناه من الشجرة عند بدْء التصنيع كان فيه نسبة معيَّنة من الكربون هي أ ده بيمثّل النسبة دي عند بداية قطع الخشب من الأشجار. أمَّا ك فده ثابت بيستخدم ليمثِّل معدَّل التضاؤل المتصل. أمَّا ن ده فهو عدد السنوات اللي مرَّت على الحفرية، يعني عمرها بالسنوات. مُعطى عندنا في السؤال فترة عمر النصف للكربون أربعتاشر بخمسة آلاف سبعمية وتلاتين عام. إيه معنى فترة عمر النصف؟ فترة عمر النصف لكربون أربعتاشر معناها المدة الزمنية اللي هيستغرقها نصّ عدد ذرات الكربون اللي موجودة في المادة اللي تمَّ التصنيع منها، هيكون تحلَّل بعد مرور خمسة آلاف سبعمية وتلاتين سنة.

ده معناه إن لو كان كمِّيَّة الكربون اللي موجودة في المادة عند بداية تصنيعها كانت أ. فبعد مرور خمسة آلاف سبعمية وتلاتين سنة هتبقى كمِّيَّة الكربون المتبقِّية هي نصّ أ. يعني نصّ الكمِّيَّة الابتدائية اللي كانت موجودة عند بداية التصنيع. فكده نقدر نعوَّض عن ص، اللي هي كمِّيَّة الكربون اللي هتبقى موجودة بعد فترة عمر النصف بنصّ أ. أمَّا الـ ن، اللي هو عدد السنوات اللي هتكون مرت، بخمسة آلاف سبعمية وتلاتين، اللي هي فترة عمر النصف. هنعوّض بقى بِـ ص وَ ن في دالة التضاؤل الأُسِّية اللي عندنا دي؛ عشان نوجد قيمة ك، اللي هو ثابت، اللي بيمثّل معدَّل التضاؤل المتصل.

بعد التعويض هيصبح عندنا نصّ أ يساوي أ هـ أُس، سالب ك في خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. هنقسم طرفَي المعادلة اللي عندنا على أ. وناخد بالنا إن أ هو ثابت. وقيمته لا تساوي صفر. فهيصبح عندنا نصّ بيساوي ه أُس، سالب ك في خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. بأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، عشان نقدر نوجد قيمة ك اللي موجودة في الأُس عندنا. هيصبح اللوغاريتم الطبيعي لنصّ بيساوي اللوغاريتم الطبيعي لِـ هـ أُس، سالب ك في خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. لمَّا بنيجي نوجد اللوغاريتم الطبيعي لِـ هـ مرفوعة لأس س، الناتج بيبقى الأس اللي هو س. هنطبَّق نفس القاعدة؛ عشان نقدر نوجد اللوغاريتم الطبيعي لِـ هـ أُس، سالب ك في خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. فكده هيصبح اللوغاريتم الطبيعي لنصّ بيساوي سالب ك في خمسة آلاف سبعمية وتلاتين.

دلوقتي إحنا عايزين نوجد قيمة ك. فهنقسم الطرفين على سالب خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. كده هيصبح ك بيساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لنصّ على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. دلوقتي بعد ما أوجدنا قيمة ك هنستخدمها في الدالة اللي عندنا لحساب عمر القطعة الأثرية بمعلومية كمِّيَّة الكربون اللي موجودة فيها. مذكور عندنا في السؤال إن كمِّيَّة الكربون اللي وجدوها في القطعة الأثرية هي ستين في المية من عنصر كربون أربعتاشر، اللي بيبقى موجود في الأشجار الحيَّة. يعني نسبة الكربون، اللي هي ص، اللي موجودة دلوقتي في القطعة الأثرية، عبارة عن ستين في المية من كمِّيَّة الكربون الابتدائية اللي بتبقى موجودة، اللي هي أ. اللي هي هتبقى بتساوي ستة من عشرة أ.

فبالتالي لو رجعنا للدالة اللي عندنا، هنلاقي إن معلوم عندنا كمِّيَّة الكربون اللي هي ص بدلالة أ. ومعلوم عندنا كمان الثابت ك. وما عادش باقي مجهول غير عدد السنوات اللي هو ن. هنبدأ دلوقتي نعوَّض في الدالة عن قيم كلٍّ من ص وَ ك؛ عشان نوجد عدد السنوات، اللي هو ن. هنعوّض عن ص بقيمتها اللي هي ستة من عشرة أ. وبعدين نكمِّل: يساوي أ في هـ. هـ دي مرفوعة للأس سالب ك في ن. ك أصلًا طالع بالسالب. يبقى لمَّا ناخد سالب ك فهيبقى ك باللوغاريتم الطبيعي بنصّ على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. والـ ك دي مضروبة في المتغيّر ن. بقسمة طرفَي المعادلة اللي عندنا على أ، حيث أ ثابت لا يساوي الصفر. فهتصبح المعادلة ستة من عشرة يساوي هـ أس اللوغاريتم الطبيعي لنص على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين في ن.

إحنا عايزين نوجد قيمة ن اللي هي موجودة في الأس، فبالتالي هناخد اللوغاريتم الطبيعي للطرفين. فهتصبح المعادلة بالشكل ده: اللوغاريتم الطبيعي لستة من عشرة يساوي اللوغاريتم الطبيعي لِـ هـ أُس، اللوغاريتم الطبيعي لنصّ على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين في ن. نفتكر القاعدة دي. لمَّا بنيجي نوجد اللوغاريتم الطبيعي لِـ هـ مرفوعة لأس س، فالناتج بيبقى الأس، اللي هو س. وبكده هتبقى المعادلة اللي عندنا بالشكل ده: اللوغاريتم الطبيعي لستة من عشرة بيساوي اللوغاريتم الطبيعي لنصّ على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين في، ن. وإحنا عايزين نوجد قيمة ن، يبقى هنقسم طرفَي المعادلة على اللوغاريتم الطبيعي لنصّ على خمسة آلاف سبعمية وتلاتين. كده هتصبح ن تساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة من عشرة في خمسة آلاف وسبعمية وتلاتين على، اللوغاريتم الطبيعي لنصّ. بإيجاد الناتج على الآلة الحاسبة، هيطلع بعد التقريب لأقرب رقم صحيح أربعة آلاف ميتين تلاتة وعشرين عامًا تقريبًا.

وبكده يبقى قدرنا نعرف عدد الأعوام اللي مرَّت منذ قطع الخشب المستخدَم في صناعة القطعة الأثرية. أو بمعنى آخر قدرنا نحدِّد عمر القطعة الأثرية دي بمعلومية نسبة الكربون أربعتاشر اللي موجودة في المادة اللي تمّ صناعة القطعة الأثرية منها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.