نسخة الفيديو النصية
منحنى يمر بالنقطة صفر، واحد، وميل المماس عند نقطته ﺱ، ﺹ هو ستة ﺱ في الجذر التربيعي لثمانية ﺱ تربيع زائد واحد. ما معادلة المنحنى؟
يكمن مفتاح حل هذا السؤال في ملاحظة أن لدينا معلومات عن ميل المماس عند نقطة معينة. تذكر أنه يمكننا إيجاد معادلة عامة لميل مماس المنحنى عن طريق اشتقاق معادلة المنحنى. بعبارة أخرى، في هذه الحالة، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ في الجذر التربيعي لثمانية ﺱ تربيع زائد واحد. أو يمكننا كتابة ذلك بطريقة أخرى على الصورة ستة ﺱ في ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد أس نصف.
والآن عندما نتذكر أن التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان، نعلم أنه يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺹ من خلال حساب التكامل للتعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذا سيعطينا بالأساس معادلة عامة. علينا الاستفادة من حقيقة أن المنحنى يمر بالنقطة صفر، واحد لإيجاد المعادلة الخاصة للمنحنى لدينا. إذن، سنحسب التكامل لستة ﺱ في ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد أس نصف بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، ربما تتساءل عن كيفية حساب التكامل لهذه الدالة. حسنًا، لدينا حاصل ضرب دالتين إحداهما دالة مركبة. مفتاح الحل هنا هو ملاحظة أن مشتقة جزء من الدالة المركبة يساوي مضاعفًا قياسيًّا لجزء آخر من الدالة. بعبارة أخرى، مشتقة ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد هي أحد مضاعفات ستة ﺱ. وهذا مؤشر واضح على أننا سنستخدم التكامل بالتعويض. سنجري التعويض ﻉ يساوي ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد. وهذا هو الجزء الداخلي للدالة المركبة.
ثم نشتق ﻉ بالنسبة إلى ﺱ، علمًا بأنه لاشتقاق حد أسي، علينا ضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. فنحصل على اثنين في ثمانية ﺱ أس واحد أو اثنين في ثمانية ﺱ، وهو ما يساوي ١٦ﺱ. بالطبع، مشتقة واحد تساوي صفرًا. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ١٦ﺱ. نلاحظ أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا. لكن في هذه العملية، سنتعامل معه باعتباره كسرًا. فنقول إن هذا يكافئ واحدًا على ١٦ ﺩﻉ يساوي ﺱ ﺩﺱ. الهدف من ذلك هو أن نتمكن من التعويض عن ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد بـ ﻉ. ويمكننا التعويض عن ﺱ ﺩﺱ بواحد على ١٦ ﺩﻉ. حسنًا، قد يبدو هذا كتكامل ستة في ﻉ أس نصف في واحد على ١٦ ﺩﻉ.
لكن يمكننا بالطبع إعادة كتابة ذلك بطريقة أفضل قليلًا ليصبح على الصورة ستة على ١٦ في ﻉ أس نصف ﺩﻉ. وبعد ذلك، سنخرج العامل الثابت ستة على ١٦ أو ثلاثة على ثمانية. إذن، ﺹ يساوي ثلاثة أثمان في التكامل غير المحدد لـ ﻉ أس نصف ﺩﻉ. من الضروري هنا تذكر أنه لإيجاد تكامل حد بالصيغة ﺱ أس ﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإننا نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على هذه القيمة الجديدة. إذن، تكامل ﻉ أس نصف يساوي ﻉ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين. وبالطبع، نحتاج إلى ثابت التكامل ﺙ.
نحن نعلم أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب ذلك الكسر. وبناء عليه، فإن ﻉ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين هو نفسه اثنان على ثلاثة ﻉ أس ثلاثة على اثنين. تذكر أننا نريد معادلة للمنحنى، وستكون ﺹ بدلالة ﺱ. لذا، نعود إلى التعويض ﻉ يساوي ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد. وبذلك يصبح لدينا ﺹ يساوي ثلاثة أثمان في ثلثي ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد أس ثلاثة على اثنين زائد ﺙ.
الآن، علينا إيجاد قيمة ﺙ. لذلك سنعود مرة أخرى إلى المعطى الأول المتعلق بالمنحنى وحقيقة أنه يمر بالنقطة صفر، واحد. بعبارة أخرى، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي واحدًا. وعليه، سنعوض بهاتين القيمتين. واحد يساوي ثلاثة أثمان في ثلثي ثمانية في صفر تربيع زائد واحد أس ثلاثة على اثنين زائد ﺙ. ثمانية في صفر تربيع زائد واحد يساوي واحدًا، وواحد أس ثلاثة على اثنين يساوي واحدًا أيضًا. وبذلك، نحصل على واحد يساوي ثلاثة أثمان في ثلثين زائد ﺙ.
دعونا نحل لإيجاد قيمة ﺙ بقسمة الطرفين على ثلاثة أثمان. إذن، ثمانية أثلاث تساوي ثلثين زائد ﺙ. وإذا طرحنا ثلثين من كلا الطرفين، فسنجد أن ﺙ يساوي ستة أثلاث، وهو ما يساوي اثنين. بالتعويض عن ﺙ باثنين، سيصبح لدينا بالفعل معادلة للمنحنى، لكنها لا تبدو بالشكل المقبول. لذلك سنوزع ثلاثة أثمان على القوسين. ثلاثة أثمان في ثلثين يساوي ربعًا، وثلاثة أثمان في اثنين يساوي ثلاثة أرباع. إذن، معادلة المنحنى هي ﺹ يساوي ربعًا في ثمانية ﺱ تربيع زائد واحد أس ثلاثة على اثنين زائد ثلاثة أرباع.
