تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد فترات تزايد وتناقص دالة كسرية

أحمد لطفي

أوجد كل الفترات الممكنة التي تكون فيها الدالة د(ﺱ) = (ﺱ^٢ − ٤)/(ﺱ^٢ + ١) تزايدية أو تناقصية.

٠٦:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد كل الفترات الممكنة التي تكون فيها الدالة د س بتساوي س تربيع ناقص أربعة الكل مقسوم على س تربيع زائد واحد، تزايدية أو تناقصية.

في البداية عشان نقدر نحدّد الفترات الممكنة اللي بتكون فيها الدالة تزايدية أو تناقصية، هنقول مثلًا لو عندنا دالة د قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة من أ إلى ب. هيكون عندنا حالتين: أول حالة إذا كانت د شرطة س أكبر من الصفر. يعني لو كانت المشتقة الأولى للدالة د أكبر من الصفر لجميع قيم س اللي بتنتمي للفتره المفتوحة من أ إلى ب. فإن د تكون تزايدية على الفترة المفتوحة من أ إلى ب.

وبالنسبة لتاني حالة، إذا كان د شرطة س أصغر من الصفر. يعني المشتقة الأولى للدالة د أصغر من الصفر لجميع قيم س اللي بتنتمي للفترة المفتوحة من أ إلى ب. فإن د تكون تناقصية على الفترة المفتوحة من أ إلى ب.

وبالتالي يبقى عشان نقدر نحدّد الفترات الممكنة اللي بتكون فيها الدالة د س المعطاة تزايدية أو تناقصية. هنكون محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. وهنشوف الفترات اللي بتكون فيها المشتقة الأولى للدالة د س أكبر من الصفر، وهتكون هي الفترات اللي بتكون فيها الدالة تزايدية. وهنشوف أيضًا الفترات اللي بتكون فيها المشتقة الأولى للدالة أصغر من الصفر، وهتكون هي الفترات اللي بتكون الدالة فيها تناقصية.

وبالتالي عشان نقدر نوجد المشتقة الأولى للدالة د س المعطاة، وبما إن الدالة د س المعطاة هي دالة كسرية. فاشتقاق الدالة الكسرية، يعني لو عندنا دالة كسرية على صورة ر س على ق س، هتكون بتساوي: ق س مضروبة في ر شرطة س، ناقص ق شرطة س مضروبة في ر س، الكل مقسوم على ق س تربيع؛ حيث ق س لا تساوي الصفر.

وبالتالي لو عايزين نوجد مشتقة الدالة د س المُعطاة، هتكون المقدار اللي في المقام اللي هو س تربيع زائد واحد، مضروب في … اشتقاق المقام اللي في البسط، اللي هو اشتقاق س تربيع ناقص أربعة، اللي هو هيساوي اتنين س. ناقص … المقدار اللي في البسط، اللي هو س تربيع ناقص أربعة، مضروب في … اشتقاق المقدار اللي في المقام، اللي هو اشتقاق س تربيع زائد واحد، اللي هو بيساوي اتنين س. الكل مقسوم على المقدار اللي في المقام تربيع؛ يعني مقسوم على س تربيع زائد واحد الكل تربيع.

بالتالي د شرطة س هتساوي … هناخد في البسط اتنين س عامل مشترك، فهيكون عندنا اتنين س مضروبة في، س تربيع زائد واحد، ناقص س تربيع زائد أربعة؛ الكل مقسوم على س تربيع زائد واحد الكل تربيع.

نقدر نبسط المقدار اللي في البسط. عندنا س تربيع ناقص س تربيع هيساوي صفر. وعندنا واحد زائد أربعة هيساوي خمسة. بالتالي د شرطة س هتساوي … هيكون عندنا في البسط اتنين س مضروبة في خمسة؛ يعني هيكون عندنا عشرة س، الكل مقسوم على س تربيع زائد واحد الكل تربيع. يبقى كده قدرنا نوجد د شرطة س.

تاني خطوة محتاجين نوجد قيم س اللي بتكون عندها د شرطة س بتساوي صفر. يعني هيكون عندنا عشرة س الكل مقسوم على س تربيع زائد واحد الكل تربيع بيساوي صفر. فهنجد إن المقدار هيساوي صفر لو كان البسط بيساوي صفر. يعني عشرة س هتساوي صفر. وبالتالي س هتساوي صفر. ويبقى قيم س اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر، هتكون عند س بتساوي صفر.

تالت خطوة محتاجين نوجد النقاط الحرجة للدالة د س. وبما إن مجال الدالة د س بيساوي مجموعة الأعداد الحقيقية ح. يعني عند التعويض بأي قيمة لـ س في مجموعة الأعداد الحقيقية ح. الدالة هيكون ليها قيمة. وبالتالي هتكون النقطة الحرِجة الوحيدة اللي عندنا اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر، اللي هي عند س بتساوي صفر.

هنرسم خط الأعداد، وهيكون بالشكل ده. وبالتالي هنكون عايزين نشوف هل الفترة من صفر لما لا نهاية هتكون قيمة الدالة د س تزايدية أو تناقصية. وأيضًا عايزين نشوف الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، هتكون قيمة الدالة د س تزايدية أم تناقصية.

بالنسبة للفترة من صفر لما لا نهاية، هنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي واحد. وهنعوّض في المشتقة الأولى للدالة د س عن س بواحد. فهيكون عندنا د شرطة واحد، هتساوي عشرة مضروبة في واحد الكل مقسوم على، واحد تربيع زائد واحد الكل تربيع. يعني هتساوي عشرة على أربعة. وبالتالي بما إن المشتقة الأولى للدالة د س كانت قيمتها أكبر من الصفر في الفترة من صفر لما لا نهاية.

يبقى الدالة هتكون تزايدية في الفترة. وبالنسبة للفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، هنختار أي قيمة لـ س بداخل الفترة، مثلًا عند س بتساوي سالب واحد. وهنعوّض في المشتقة الأولى للدالة د س عن س بسالب واحد. يعني د شرطة سالب واحد هتساوي عشرة مضروبة في سالب واحد، الكل مقسوم على سالب واحد تربيع زائد واحد الكل تربيع. يعني هتساوي سالب عشرة على أربعة.

وبما إن قيمة المشتقة الأولى للدالة د س كانت قيمة أصغر من الصفر. يبقى الدالة هتكون تناقصية في الفترة. وبالتالي يبقى نقدر نقول إن الدالة هتكون تناقصية في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. وهتكون تزايدية في الفترة المفتوحة من صفر لما لا نهاية. يبقى كده قدرنا نوجد كل الفترات الممكنة اللي بتكون فيها الدالة د س تزايدية أو تناقصية.