فيديو السؤال: إيجاد فترات تزايد وتناقص دالة نسبية الرياضيات

أوجد كل الفترات الممكنة التي تكون خلالها الدالة ﺩ(ﺱ) = (ﺱ^٢ − ٤)‏/‏(ﺱ^٢ + ١) تزايدية وتناقصية.

٠٨:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد كل الفترات الممكنة التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل مقسوم على ﺱ تربيع زائد واحد تزايدية وتناقصية.

لدينا هنا دالة ﺩﺱ، ونلاحظ أن ﺩﺱ دالة نسبية. فهي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. علينا تحديد فترات تزايد هذه الدالة وفترات تناقصها. وأول ما يجب علينا معرفته لحل سؤال مثل هذا هو تحديد مجال الدالة ﺩﺱ. والسبب وراء ذلك هو أن الدالة لا يمكن أن تكون تزايدية أو تناقصية على فترة ما إلا إذا كانت معرفة على هذه الفترة بأكملها.

إذن، إيجاد مجال الدالة ﺩﺱ سيساعدنا في تحديد الفترات التي تكون خلالها الدالة تزايدية أو تناقصية. الدالة ﺩﺱ هنا هي دالة نسبية. والدوال النسبية تكون معرفة دائمًا، إلا في القيم التي عندها يساوي المقام صفرًا. ولإيجاد مجال الدالة ﺩﺱ، علينا التحقق من قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا. في هذه الحالة، علينا التحقق متى يكون ﺱ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا.

لكن يمكننا أن نرى أن هذه المعادلة ليس لها حل. على سبيل المثال، بطرح واحد من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. إذن الدالة ﺩﺱ معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. ومن ثم، فإن مجالها هو كل القيم الحقيقية.

والآن، علينا استخدام ذلك لمساعدتنا في تحديد فترات تزايد وتناقص الدالة ﺩﺱ. ولفعل ذلك، دعونا نتذكر هذه المعلومة المهمة. للدالة التي مشتقتها دالة متصلة، إذا كانت قيم ﺩ شرطة أكبر من صفر خلال الفترة ﻑ، يمكننا استنتاج أن ﺩ لا بد أن تكون تزايدية خلال الفترة ﻑ. لكن، إذا كانت قيم ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر خلال الفترة ﻑ، فلا بد أن تكون ﺩ تناقصية خلال الفترة ﻑ. بعبارة أخرى، يمكننا معرفة الفترات التي تكون خلالها الدالة ﺩﺱ تزايدية أو تناقصية بالنظر إلى إشارة مشتقتها.

علينا إذن اشتقاق ﺩﺱ. بما أن ﺩﺱ هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود، فسنفعل ذلك باستخدام قاعدة القسمة. لنبدأ إذن بتذكر قاعدة القسمة. تنص قاعدة القسمة على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ﻉﺱ وﻕﺱ، فإن مشتقة ﻉﺱ على ﻕﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ شرطة ﺱ في ﻕﺱ ناقص ﻕ شرطة ﺱ في ﻉﺱ الكل مقسوم على ﻕﺱ الكل تربيع.

ومن الجدير بالذكر أنه لا يمكن استخدام ذلك إذا كانت ﻕﺱ تساوي صفرًا. والآن علينا تطبيق ذلك على الدالة ﺩﺱ. لذا، سنفترض أن ﻉﺱ هي الدالة كثيرة الحدود في البسط، وتساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة، وﻕﺱ هي الدالة كثيرة الحدود في المقام، وتساوي ﺱ تربيع زائد واحد. وجدير بالذكر هنا أن ﺱ تربيع أكبر من أو يساوي صفرًا. هذا يعني أن ﻕﺱ أكبر من أو تساوي واحدًا. وعليه، فإن ﻕﺱ لا يمكن أن تساوي صفرًا. إذن، في هذه الحالة، المشتقة ستكون معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. في الواقع، ستكون دالة متصلة.

والآن لكي نستخدم قاعدة القسمة، نحتاج إلى إيجاد تعبيرات لكل من ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ. يمكننا إيجاد فعل ذلك في حد تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس المتغير ﺱ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. سنجد أن كلًّا من ﻉ شرطة ﺱ وﻕ شرطة ﺱ يساوي اثنين ﺱ.

والآن، نحن جاهزون لإيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ باستخدام قاعدة القسمة. كل ما علينا فعله هو التعويض بتعبيرات ﻉﺱ، وﻕﺱ، وﻉ شرطة ﺱ، وﻕ شرطة ﺱ في قاعدة القسمة. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺱ في ﺱ تربيع زائد واحد ناقص اثنين ﺱ في ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل مقسوم على ﺱ تربيع زائد واحد الكل تربيع.

ويمكننا تبسيط هذا التعبير. في البسط، يمكننا إخراج العامل المشترك اثنين ﺱ. وبذلك نحصل على اثنين ﺱ مضروب في ﺱ تربيع زائد واحد ناقص ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل مقسوم على ﺱ تربيع زائد واحد الكل تربيع. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر. في البسط، يمكننا توزيع سالب واحد على القوس الداخلي. وبذلك نحصل على سالب ﺱ تربيع زائد أربعة. ويمكننا تبسيط هذا البسط. لدينا ﺱ تربيع ناقص ﺱ تربيع، وهو ما يساوي صفرًا، وواحد زائد أربعة، وهو ما يساوي خمسة. وبهذا، يبسط في الواقع البسط ليصبح اثنين ﺱ في خمسة، وهو ما نعرف أنه يساوي ١٠ﺱ. وعليه، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ١٠ﺱ مقسومًا على ﺱ تربيع زائد واحد الكل تربيع.

نحن الآن جاهزون لإيجاد فترات تزايد الدالة ﺩﺱ وفترات تناقصها. علينا إيجاد أين تكون قيم ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر، وأين تكون قيم ﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر. لفعل ذلك، دعونا نلق نظرة عن قرب على تعبير ﺩ شرطة ﺱ. أولًا، كما ذكرنا من قبل ونكرر ذلك ثانية لأهميته، هذه دالة نسبية حيث المقام فيها لا يساوي صفرًا أبدًا. إذن، ﺩ شرطة ﺱ هي دالة متصلة. كما أنها معرفة لجميع قيم ﺱ الحقيقية. ونريد تحديد متى تكون قيمها موجبة ومتى تكون سالبة.

لنلق نظرة على المقام. المقام هو ﺱ تربيع زائد واحد الكل تربيع. وبما أننا هنا نحسب مربع هذه القيمة، فإننا نعلم أن هذا سيكون أكبر من أو يساوي صفرًا. لكننا نعلم بالفعل أنه لا يساوي صفرًا. إذن، هذا المقام موجب دائمًا. وإذا كان المقام موجبًا دائمًا، فهذا يعني أن إشارة ﺩ شرطة ﺱ تحدد حسب البسط. وفي البسط، العدد ١٠ موجب بالطبع. إذن، الشيء الوحيد الذي يحدد إشارة ﺩ شرطة ﺱ هو ﺱ.

وعليه، إذا كان ﺱ أكبر من صفر، فإن ﺩ شرطة ﺱ ستكون خارج قسمة عددين موجبين. وبذلك، تكون قيم ﺩ شرطة ﺱ موجبة. ولكن إذا كان ﺱ أصغر من صفر، فإن ﺩ شرطة ﺱ ستكون خارج قسمة عدد سالب وعدد موجب. وعليه، فإن قيم ﺩ شرطة ﺱ ستكون سالبة. هذا كأننا نقول إن ﺩ تزايدية عندما يكون ﺱ أكبر من صفر، وﺩ تناقصية عندما يكون ﺱ أصغر من صفر.

وبالطبع مطلوب منا كتابة ذلك على صورة فترة. عندما نقول إن ﺱ أكبر من صفر، فهذا يعني أنه يقع ضمن الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية. أما ﺱ أصغر من صفر، فهذا يعني أنه يقع ضمن الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر.

وثمة أمر صغير جدير بالذكر هنا. لماذا لا تتضمن الفترة القيمة صفرًا؟ إذا كانت قيمة مشتقة ﺩ عند نهاية الفترة تساوي صفرًا، يمكننا القول إن الدالة تزايدية أو تناقصية على هذه الفترة. فالأمر يرجع إليك إذا كنت ترغب في كتابته أو لا. لكننا، طبقًا للتعريفات، نستخدم ﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر، وﺩ شرطة ﺱ أصغر من صفر لتحديد إذا ما كانت ﺩ تزايدية أو تناقصية.

سنكتب الفترات مفتوحة، لتصبح هذه هي الإجابة النهائية. للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص أربعة الكل مقسوم على ﺱ تربيع زائد واحد، تكون هذه الدالة تناقصية خلال الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر وتزايدية خلال الفترة من صفر إلى ما لا نهاية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.