فيديو السؤال: إيجاد القيمة العظمى والصغرى المحلية لدالة تتضمن دالة لوغاريتمية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لـ ﺩﺱ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع على ثلاثة زائد اثنين ﺱ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، إن وجدت.

لدينا في المعطيات الدالة ﺩﺱ. علينا تحديد جميع القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لهذه الدالة، إن وجدت. لإيجاد هذه النقاط، علينا ملاحظة شيء ما عن الدالة ﺩﺱ. نعرف كيف نشتق ﺩﺱ. وهذا لأن ﺩﺱ هي مجموع دالة كثيرة الحدود ودالة اللوغاريتم الطبيعي، ونحن نعلم كيفية اشتقاق كل منهما. كما نعلم أن نقاط القيم القصوى المحلية للدالة تكون موجودة دائمًا عندما تكون مشتقة الدالة تساوي صفرًا، أو عندما تكون المشتقة غير موجودة.

ونطلق على هذه النقاط أحيانًا اسم النقاط الحرجة. إذن، علينا إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ لإيجاد جميع النقاط الحرجة. نعلم أن ﺩ شرطة ﺱ ستساوي مشتقة سالب خمسة ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين ﺱ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونحن في الواقع نعرف كيفية اشتقاق ذلك التعبير حدًا تلو الآخر. يمكن اشتقاق أول حدين في هذا التعبير باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ولاشتقاق الحد الثالث والأخير، علينا أن نتذكر أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي بالنسبة إلى ﺱ تساوي دالة المقلوب، أي واحد على ﺱ.

إذن، يمكننا الآن إيجاد قيمة هذه المشتقة. مرة أخرى، نشتق أول حدين باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب المعامل في أس ﺱ، ونقلل هذا الأس بمقدار واحد. نحصل على ﺩ شرطة ﺱ يساوي سالب ١٠ﺱ مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين ناقص واحد مقسومًا على ستة ﺱ. نريد إيجاد جميع النقاط الحرجة للدالة ﺩﺱ. تذكر أن هذه هي الحالة التي تكون فيها مشتقة ﺩﺱ تساوي صفرًا، أو التي تكون فيها المشتقة غير موجودة.

ويمكننا أن نرى أن ﺩ شرطة ﺱ هي مجموع دالتين كسريتين. والحالة الوحيدة التي لن تكون فيها الدالة الكسرية معرفة هي عندما يساوي المقام صفرًا. والمقام الوحيد هنا الذي يمكن أن يساوي صفرًا هو ستة ﺱ. إذن، ﺩ شرطة ﺱ موجودة لجميع قيم ﺱ إلا عندما يكون ستة ﺱ مساويًا لصفر، وهو ما يحدث بالطبع عندما يساوي ﺱ صفرًا.

لكن قبل أن نستمر في الحل، ثمة شيء آخر علينا فعله. علينا التأكد من أن ﺱ يساوي صفرًا يقع ضمن مجال الدالة ﺩﺱ. هذا لأنه لا يمكننا التحقق من مشتقة الدالة عند صفر، إذا كانت الدالة الأصلية غير معرفة عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا. وفي الواقع، نلاحظ أن ﺱ يساوي صفرًا لا يقع ضمن مجال الدالة ﺩﺱ. وإلا كان سيتعين علينا أخذ اللوغاريتم الطبيعي لصفر. إذن، صفر ليس نقطة حرجة للدالة ﺩﺱ. وفي الحقيقة، هذا يخبرنا بأن ﺩ شرطة ﺱ معرفة لجميع قيم ﺱ في مجال ﺩﺱ.

إذن النقاط الحرجة الوحيدة في الدالة ستكون موجودة عندما تكون مشتقة ﺩﺱ تساوي صفرًا. إحدى طرق حل هذه المعادلة هي ضرب المعادلة بالكامل في ﺱ. تذكر أننا أوضحنا بالفعل أن ﺱ لا يمكن أن يساوي صفرًا. وبضرب جميع الحدود في ﺱ والتبسيط، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ ستساوي صفرًا عندما يكون سالب ١٠ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين ﺱ ناقص سدس يساوي صفرًا. وهي مجرد معادلة تربيعية في ﺱ، لذا يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام برنامج لحل المعادلات التربيعية أو القانون العام لحل المعادلة التربيعية.

توجد طريقة أخرى لحل ذلك، وهي ضرب حدود المعادلة في سالب ستة. سنحصل على ٢٠ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. وبعد ذلك، إما عن طريق التوقع أو نظرية العوامل أو إحدى الطرق التي ذكرناها سابقًا، يمكننا تحليل ذلك لنحصل على ١٠ﺱ ناقص واحد مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. ونحن نعلم أنه إذا كان حاصل ضرب العاملين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد هذين العاملين يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إما ١٠ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، أو اثنان ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا.

ثم يمكننا حل هاتين المعادلتين الخطيتين لإيجاد قيمتي ﺱ. نحصل إما على ﺱ يساوي واحدًا على ١٠، أو ﺱ يساوي نصفًا. وكما فعلنا من قبل، علينا أن نتحقق أيضًا من أن الدالة ﺩﺱ معرفة عندما ﺱ يساوي واحدًا على ١٠، وعندما ﺱ يساوي نصفًا. وإذا فعلنا ذلك، يمكننا بالطبع التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا على ١٠، أو ﺱ يساوي نصفًا في الجزء الخاص بالدالة الكثيرة الحدود من ﺩﺱ. وكلا هاتين القيمتين موجبة، لذا يمكننا أيضًا التعويض بهما في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. إذن، كلتا هاتين القيمتين تنتمي إلى مجال الدالة ﺩﺱ.

ومن ثم، فإن هاتين النقطتين هما النقطتان الحرجتان للدالة ﺩﺱ. مشتقة ﺩﺱ عند هاتين النقطتين تساوي صفرًا، وهو ما يخبرنا بالطبع أن الدالة سيكون لها قيم قصوى محلية عندهما. ولكننا ما زلنا بحاجة إلى تحديد ما إذا كانت هاتان القيمتان تمثلان قيمة عظمى محلية أم قيمة صغرى محلية، وعلينا إيجاد قيمتيهما. وتوجد عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى. لكن إذا نظرنا إلى التعبير الخاص بالمشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ، فسنرى أنه يمكننا اشتقاق هذا التعبير مرة أخرى. هذا يعني أنه يمكننا أيضًا استخدام اختبار المشتقة الثانية.

لاستخدام اختبار المشتقة الثانية، علينا إيجاد تعبير يوضح المشتقة الثانية لـ ﺩ بالنسبة لـ ﺱ. يمكننا فعل ذلك عن طريق اشتقاق ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة سالب ١٠ﺱ على ثلاثة زائد اثنين ناقص واحد على ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولتسهيل هذا الاشتقاق، نعيد كتابة سالب واحد على ستة ﺱ على صورة سالب سدس مضروبًا في ﺱ أس سالب واحد. هذا يعني أنه يمكننا الآن إيجاد هذه المشتقة حدًا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ثم بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق حدًا تلو الآخر، نحصل على سالب ١٠ على ثلاثة زائد سدس مضروبًا في ﺱ أس سالب اثنين.

وبالطبع باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة ﺱ أس سالب اثنين في المقام على صورة ﺱ تربيع. وهذا يعطينا ﺩ شرطتين ﺱ يساوي سالب ١٠ على ثلاثة زائد واحد على ستة ﺱ تربيع. علينا الآن تذكر اختبار المشتقة الثانية للدالة ﺩﺱ. نتذكر أن هذا يخبرنا بأنه إذا كان ﺱ نقطة حرجة للدالة ﺩ، وكانت قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩ بالنسبة إلى ﺱ عند النقطة الحرجة ﺱ موجبة، فلا بد أن تكون نقطة قيمة صغرى محلية. أما إذا كانت قيمة المشتقة الثانية لـ ﺩ بالنسبة لـ ﺱ عند النقطة الحرجة ﺱ سالبة، فلا بد أن تكون نقطة قيمة عظمى محلية.

إذن علينا الآن إيجاد المشتقة الثانية لـ ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ عند كل نقطة من النقاط الحرجة. نبدأ بـ ﺱ يساوي واحدًا على ١٠. سنكتب هذا على صورة ٠٫١. بالتعويض بـ ٠٫١ في التعبير الخاص بـ ﺩ شرطتين ﺱ، نحصل على سالب ١٠ على ثلاثة زائد واحد مقسومًا على ستة مضروبًا في ٠٫١ تربيع. وإذا حسبنا قيمة التعبير، فسنحصل على ٤٠ مقسومًا على ثلاثة، ونلاحظ أنه قيمة موجبة. ولأن المشتقة الثانية للدالة ﺩﺱ بالنسبة لـ ﺱ عند ٠٫١ قيمة موجبة، فهذا يعني أن الميل يتزايد حول قيمة ﺱ هذه. هذا يعني أنها لا بد من أن تكون نقطة قيمة صغرى محلية.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه بالضبط عند النقطة الحرجة الأخرى عندما يكون ﺱ يساوي نصفًا. سنكتب هذا على الصورة ٠٫٥. علينا التعويض بـ ٠٫٥ في التعبير الخاص بـ ﺩ شرطتين ﺱ. نحصل على سالب ١٠ على ثلاثة زائد واحد مقسومًا على ستة مضروبًا في ٠٫٥ تربيع. هذه المرة، إذا أوجدنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب ثمانية على ثلاثة، ونلاحظ أنها قيمة سالبة. إذن، عندما يكون ﺱ يساوي ٠٫٥، تكون المشتقة الثانية لـ ﺩﺱ سالبة. هذا يعني أن ميل الدالة يتناقص، ما يعني أننا لا بد من أن نكون عند قيمة عظمى محلية.

لكن، تذكر أن ثمة شيئًا آخر علينا فعله. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لهذه الدالة. للقيام بذلك، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيمتي النقطتين الحرجتين في الدالة ﺩﺱ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونوجد القيمة العظمى المحلية والصغرى المحلية. سنبدأ عندما يكون ﺱ يساوي ٠٫١.

بالتعويض بـ ﺱ يساوي ٠٫١ في الدالة ﺩﺱ، نحصل على سالب خمسة في ٠٫١ تربيع مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين في ٠٫١ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٠٫١. وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير، يمكننا تبسيطه لنحصل على ١١ مقسومًا على ٦٠ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد على ١٠.

ويمكننا فعل الأمر نفسه مع النقطة الحرجة الأخرى عندما يكون ﺱ يساوي نصفًا. سنكتب ذلك على الصورة ٠٫٥، ونعوض بـ ﺱ يساوي ٠٫٥ في الدالة ﺩﺱ. نحصل على سالب خمسة مضروبًا في ٠٫٥ تربيع مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين في ٠٫٥ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ٠٫٥. ثم بإيجاد قيمة هذا التعبير وتبسيطه، نحصل على سبعة مقسومًا على ١٢ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لنصف. وتذكر أننا أثبتنا من قبل أن هذه قيمة عظمى محلية للدالة، وهذا يعطينا الحل النهائي.

وبذلك، استطعنا أن نوضح أن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ تربيع مقسومًا على ثلاثة زائد اثنين ﺱ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ لها فقط قيمتان محليتان قصويان. ولها قيمة صغرى محلية تساوي ١١ على ٦٠ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد على ١٠ عندما يساوي ﺱ عشرًا. ولها قيمة عظمى محلية تساوي سبعة على ١٢ ناقص سدس مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لنصف عندما يساوي ﺱ نصفًا.