فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثامن أ

امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثامن أ

٠٥:٠٨

‏نسخة الفيديو النصية

اكتب العدد: ع يساوي واحد زائد ت؛ في الصورة المثلثية. ثم أوجد جذوره التكعيبية في الصورة الأسية.

السؤال فيه مطلوبين. المطلوب الأول إننا نكتب العدد في الصورة المثلثية.

لمّا بيكون فيه عدد على الصورة الجبرية، بتكون الصورة المثلثية المقابلة ليه هي: ع بيساوي ل في؛ جتا Θ، زائد ت في جا Θ. حيث ل هو مقياس العدد، وبيساوي الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع. وَ Θ هي الدالة العكسية لِـ ظا ص على س.

وبالنظر للعدد المعطى؛ هنلاقي إن س بتساوي واحد، وَ ص برضو بتساوي واحد. وبالتالي هيبقى مقياس العدد ل بيساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد واحد تربيع. وده هيساوي الجذر التربيعي لواحد زائد واحد. يعني مقياس العدد هيساوي الجذر التربيعي لاتنين.

وبالنسبة لِـ Θ هنلاقي إن س أكبر من صفر، وَ ص أكبر من صفر؛ وبالتالي هتبقى Θ بتقع في الربع الأول. يعني Θ هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا واحد على واحد. يعني هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا واحد، اللي بيساوي 𝜋 على أربعة.

يبقى ل بتساوي الجذر التربيعي لاتنين، وَ Θ بتساوي 𝜋 على أربعة.

وبالتعويض بيهم في الصورة العامة المثلثية. هيبقى العدد المركّب واحد زائد ت بيساوي الجذر التربيعي لاتنين؛ مضروب في جتا 𝜋 على أربعة، زائد ت في جا 𝜋 على أربعة. وبكده نبقى حلّينا المطلوب الأول.

المطلوب التاني إننا نوجد الجذور التكعيبية للعدد ع في الصورة الأُسية.

باستخدام نظرية ديموافر، هيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي ع أُس واحد على تلاتة. بيساوي الجذر التكعيبي لِـ ل؛ مضروب في جتا Θ زائد اتنين 𝜋 ر، الكل على ك. زائد ت في؛ جا Θ زائد اتنين 𝜋 ر، الكل على ك. حيث ك هي أُس المقام النسبي، اللي في الحالة دي بيساوي تلاتة. وَ ر بتساوي صفر، واحد، اتنين، وهكذا … وسالب واحد، سالب اتنين، وهكذا …

وبما إن ك في الحالة دي بتساوي تلاتة، فهناخد تلات قيم متتالية لِـ ر؛ وَلْتكُن: سالب واحد، وصفر، وواحد.

لمّا ر بتساوي سالب واحد، هيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي الجذر التكعيبي للجذر التربيعي لاتنين. مضروب في جتا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد؛ الكل على تلاتة. زائد ت في؛ جا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد؛ الكل على تلاتة.

الجذر التكعيبي للجذر التربيعي لاتنين هيساوي اتنين أُس واحد على اتنين، الكل أُس واحد على تلاتة. وبضرب الأُسّين، ده هيساوي اتنين أُس واحد على ستة. وَ 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في سالب واحد؛ الكل على تلاتة. هيساوي 𝜋 على أربعة، الكل على تلاتة؛ زائد سالب اتنين 𝜋، على تلاتة. وده هيساوي 𝜋 على اتناشر، ناقص اتنين 𝜋 على تلاتة.

فهنوحّد المقامات، وده هيساوي 𝜋 ناقص تمنية 𝜋، الكل على اتناشر. يعني هيساوي سالب سبعة 𝜋 على اتناشر. فالجذر التكعيبي لِـ ع لمّا ر بتساوي سالب واحد، هيبقى بالصورة دي.

حسب صيغة أويلر … حسب صيغة أويلر هتبقى الصورة الأسية للعدد المركّب، هي: ل في، هـ أُس Θ ت. وَ ل في الحالة دي بتساوي اتنين أُس واحد على ستة. وَ Θ بتساوي سالب سبعة 𝜋 على اتناشر.

وبالتالي هتبقى الصورة الأسية للجذر التكعيبي لِـ ع لمّا ر بتساوي سالب واحد. هي: اتنين أُس واحد على ستة؛ في هـ أُس سالب سبعة 𝜋 على اتناشر، في ت.

وبالمثل لمّا ر هتساوي صفر، الجذر التكعيبي لِـ ع هيساوي الجذر التكعيبي للجذر التربيعي لاتنين. في جتا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في صفر؛ الكل على تلاتة. زائد ت في؛ جا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في صفر؛ الكل على تلاتة. اللي هيساوي بعد التبسيط اتنين أُس واحد على ستة؛ مضروبة في جتا 𝜋 على اتناشر، زائد ت في جا 𝜋 على اتناشر.

والصورة الأُسية في الحالة دي هتساوي اتنين أُس واحد على ستة؛ مضروبة في هـ أُس 𝜋 على اتناشر، في ت.

ولمّا ر هتساوي واحد، هيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي الجذر التكعيبي للجذر التربيعي لاتنين. مضروب في جتا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في واحد؛ الكل على تلاتة. زائد ت في؛ جا 𝜋 على أربعة، زائد اتنين 𝜋 في واحد؛ الكل على تلاتة. وده هيساوي بعد التبسيط اتنين أُس واحد على ستة؛ مضروبة في جتا تلاتة 𝜋 على أربعة، زائد ت في جا تلاتة 𝜋 على أربعة.

والصورة الأُسية هتساوي اتنين أُس واحد على ستة؛ مضروبة في هـ أُس تلاتة 𝜋 على أربعة، في ت.

وهي دي الجذور التكعيبية للعدد في الصورة الأسية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.