فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين نقطة وخط عمل قوة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

تؤثر القوة ﻕ تساوي ثلاثة ﺱ زائد ﻡﺹ على النقطة ﺃ، سالب خمسة، سالب أربعة في اتجاه مواز لـ ﺏﺩ؛ بحيث تكون إحداثيات النقطتين ﺏ، ﺩ هي خمسة، ستة، وتسعة، ثلاثة، على الترتيب. أوجد المسافة بين النقطة ﺏ وخط عمل القوة ﻕ.

دعونا نبدأ باستعراض شكل لتمثيل هذه المسألة. لدينا النقاط ﺃ، سالب خمسة، سالب أربعة، وﺏ، خمسة، ستة، وﺩ، تسعة، ثلاثة. تؤثر القوة ﻕ في اتجاه مواز للخط ﺏﺩ. بما أن المركبة ﺱﻕ هي موجب ثلاثة، فلا بد أن يكون اتجاهها إلى اليمين ولأسفل. الآن علينا تحديد اتجاهها الدقيق عن طريق حساب اتجاه الخط ﺏﺩ. ‏ﺏﺩ يساوي متجه موضع النقطة ﺩ، تسعة، ثلاثة، ناقص متجه موضع النقطة ﺏ، خمسة، ستة. وبذلك نحصل على أربعة سالب ثلاثة.

‏ﻕ متجه يوازي هذا المتجه. إذن فهو مضاعف قياسي له، وليكن 𝜇، في أربعة، سالب ثلاثة. نحن نعلم بالفعل أن المركبة ﺱﻕ هي ثلاثة. لذا فأربعة في 𝜇 يساوي ثلاثة. وإعادة الترتيب لإيجاد قيمة 𝜇 تعطينا 𝜇 يساوي ثلاثة على أربعة. هذا يعطينا أن المركبة ﺱﻕ تساوي ثلاثة، والمركبة ﺹ تساوي ثلاثة على أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي سالب تسعة على أربعة. إذن قيمة ﻡ هي سالب تسعة على أربعة.

والآن علينا إيجاد المسافة بين النقطة ﺏ وخط عمل القوة ﻕ. هذا يعني جعل ﺏ نقطة محورية وإيجاد المسافة العمودية ﻝ بين ﺏ وخط عمل القوة ﻕ. نتذكر أن معيار العزم ﺟ للقوة ﻕ حول نقطة ما يساوي معيار ﻕ مضروبًا في المسافة العمودية بينها وبين النقطة المحورية. إعادة الترتيب لإيجاد قيمة ﻝ تعطينا ﻝ تساوي معيار ﺟ على معيار ﻕ. لدينا بالفعل المتجه ﻕ. لذا، سيكون حساب معياره سهلًا. لكن علينا إيجاد عزم ﻕ حول النقطة ﺏ.

نتذكر أن العزم ﺟ للقوة ﻕ يساوي ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ؛ حيث ﺭ هو المتجه من النقطة المحورية إلى نقطة عمل ﻕ. وفي هذه الحالة، ﺭ يساوي المتجه ﺏ إلى ﺃ. ‏ﺏ إلى ﺃ يساوي متجه موضع ﺃ، سالب خمسة، سالب أربعة ناقص متجه موضع ﺏ، خمسة، ستة، وهو ما يساوي سالب ١٠، سالب ١٠. إذن ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، ﺱ، ﺹ، ﻉ، سالب ١٠، سالب ١٠، صفر، ثلاثة، سالب تسعة على أربعة، صفر.

يقع المتجهان في المستوى 𝑥𝑦، ومن ثم فالمركبة ﻉ لكل منهما تساوي صفرًا. وعند ضربهما اتجاهيًّا، فإن المركبة ﻉ فقط هي التي لن تساوي صفرًا. فك هذا المحدد باستخدام عناصر الصف العلوي يعطينا ٩٠ على أربعة ناقص سالب ٣٠ في ﻉ، وهو ما يساوي ١٠٥ على اثنين ﻉ. إذن، معيار ﺟ يساوي ١٠٥ على اثنين. ‏ﻕ يساوي ثلاثة، سالب تسعة على أربعة. إذن، معيار ﻕ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد سالب تسعة على أربعة الكل تربيع. إذن المسافة ﻝ تساوي ١٠٥ على اثنين الكل على الجذر التربيعي لتسعة زائد ٨١ على ١٦.

تبسيط ذلك يعطينا الإجابة النهائية. المسافة ﻝ بين النقطة ﺏ وخط عمل القوة ﻕ تساوي ١٤ وحدة طول.