فيديو السؤال: إيجاد قيمة دالة مثلثية باستخدام متطابقة مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان جتا 𝜃 واحد يساوي ثلثًا؛ حيث تقع 𝜃 واحد بين صفر و‏𝜋‏‎ على اثنين، وجتا 𝜃 اثنين يساوي ثلثًا؛ حيث تقع 𝜃 اثنين بين صفر و‏𝜋‏‎ على اثنين، فأوجد قيمة ظا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين، دون استخدام الآلة الحاسبة. تلميح: افترض أن ظا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين يساوي ظا 𝜃 واحد زائد ظا 𝜃 اثنين، الكل على واحد ناقص ظا 𝜃 واحد في ظا 𝜃 اثنين.

لدينا هنا جتا 𝜃 واحد وجتا 𝜃 اثنين، وكلاهما يساويان ثلثًا. بالإضافة إلى ذلك، يقع نطاق كل من 𝜃 واحد و𝜃 اثنين بين صفر و‏𝜋‏‎ على اثنين. في شبكة إحداثيات، إذا وقعت الزاوية بين صفر واثنين ‏𝜋‏‎، فإنها ستقع في الربع الأول. وهذا يعطينا مزيدًا من المعلومات بشأن هذه الزاوية. لتذكر هذه المعلومات، نستخدم مخطط إشارات الدوال المثلثية. في الربع الأول يخبرنا أنه بالنسبة إلى الزوايا التي تقع في الربع الأول، جميع الدوال المثلثية الثلاث ستكون موجبة. أي إن قيم الجيب وجيب التمام والظل لـ 𝜃 التي تقع بين صفر و‏𝜋‏‎ على اثنين موجبة.

بما أن هدفنا هو إيجاد ظا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين، ولدينا هنا متطابقة مثلثية لمساعدتنا على فعل ذلك، فإننا نحتاج إلى معلومتين. علينا حساب كل من ظا 𝜃 واحد وظا 𝜃 اثنين. وعليه، سنحتاج إلى معرفة علاقات الجيب وجيب التمام والظل. أعطانا السؤال علاقة جيب تمام زاوية، وهي طول الضلع المجاور للزاوية على طول الوتر، ونعلم أن كلًّا من 𝜃 واحد و𝜃 اثنين لهما نفس علاقة جيب التمام. ومن ثم، لحساب ظا 𝜃 واحد وظا 𝜃 اثنين، علينا معرفة طول الضلع المقابل.

ولمساعدتنا في إيجاد طول الضلع المقابل هذا، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية. ها قد رسمنا مثلثًا قائم الزاوية فيه جتا يساوي ثلثًا. لحساب طول ضلعه المقابل، نستخدم نظرية فيثاغورس، ووفقًا لها نقول إن واحدًا تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ثلاثة تربيع. واحد زائد ﺏ تربيع يساوي تسعة. وإذا طرحنا واحدًا من كلا الطرفين، فسنجد أن ﺏ تربيع يساوي ثمانية. وللحصول على قيمة ﺏ فقط، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. نعلم أن الجذر التربيعي لثمانية يساوي الجذر التربيعي لأربعة في اثنين، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لأربعة في الجذر التربيعي لاثنين. إذن، أبسط صورة لـ ﺏ هي اثنان في الجذر التربيعي لاثنين.

يمكننا كتابة ذلك على المثلث القائم الزاوية. وإذا أردنا معرفة علاقة ظل هذه الزاوية، فهي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، أي اثنان في الجذر التربيعي لاثنين على واحد. ولأن جتا كل زاوية من الزاويتين يساوي ثلثًا، وكلًّا منهما تقع في الربع نفسه، فإن ظا 𝜃 واحد وظا 𝜃 اثنين سيكونان متساويين. وهو ما يساوي اثنين في الجذر التربيعي لاثنين على واحد. الآن أصبحنا مستعدين لإيجاد قيمة ظا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين.

علينا فقط التعويض بما نعرفه. ‏ظا 𝜃 واحد يساوي اثنين في الجذر التربيعي لاثنين، وظا 𝜃 اثنين يساوي اثنين في الجذر التربيعي لاثنين. يمكننا هنا جمع اثنين في الجذر التربيعي لاثنين زائد اثنين في الجذر التربيعي لاثنين. عند جمعهما، نحصل على أربعة في الجذر التربيعي لاثنين. وفي المقام، علينا ضرب اثنين في الجذر التربيعي لاثنين في اثنين في الجذر التربيعي لاثنين.

إذا أعدنا ترتيب المقام، سيبدو بهذا الشكل. نضرب اثنين في اثنين، وهو ما يعطينا أربعة. والجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لاثنين يساوي اثنين. وأربعة في اثنين يساوي ثمانية، وواحد ناقص ثمانية يساوي سالب سبعة. إذن، يمكننا القول إن ظا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين يساوي سالب أربعة في الجذر التربيعي لاثنين على سبعة.