فيديو السؤال: مرافقات مجاميع وحواصل ضرب الأعداد المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

لدينا ﻉ واحد يساوي خمسة ناقص ﺕ جذر ثلاثة وﻉ اثنين يساوي جذر اثنين زائد ﺕ جذر خمسة. احسب ﻉ واحد بار وﻉ اثنين بار. أوجد ﻉ واحد بار زائد ﻉ اثنين بار وﻉ واحد زائد ﻉ اثنين الكل بار. أوجد ﻉ واحد بار في ﻉ اثنين بار وﻉ واحدﻉ اثنين الكل بار.

في هذا السؤال، لدينا العددان المركبان ﻉ واحد وﻉ اثنين. العدد المركب هو العدد الذي يكون على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان. وﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، في حين أن ﺏ هو الجزء التخيلي. يشار إلى مرافق العدد المركب ﻉ واحد بـ ﻉ واحد بار. ويمكننا إيجاده عن طريق تغيير إشارة الجزء التخيلي. إذن، بالنسبة إلى العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن مرافقه يكون على الصورة ﺃ ناقص ﺏﺕ.

دعونا الآن نتناول العدد المركب الأول. الجزء الحقيقي من هذا العدد هو خمسة، والجزء التخيلي هو سالب جذر ثلاثة. تذكر أنه لإيجاد مرافقه، علينا تغيير إشارة الجزء التخيلي. إذن، سيظل الجزء الحقيقي من ﻉ واحد بار العدد خمسة، في حين أن الجزء التخيلي سيكون العدد موجب جذر ثلاثة. وبذلك، يكون مرافق العدد المركب ﻉ واحد؛ أي ﻉ واحد بار، هو خمسة زائد ﺕ جذر ثلاثة.

سنكرر هذه العملية مع ﻉ اثنين. هذه المرة، الجزء الحقيقي من ﻉ اثنين هو الجذر التربيعي لاثنين، بينما الجزء التخيلي هو جذر خمسة. لإيجاد مرافق العدد المركب ﻉ اثنين؛ أي ﻉ اثنين بار، علينا تغيير إشارة الجزء التخيلي. وبذلك، يكون الجزء التخيلي من المرافق هو سالب جذر خمسة. إذن، يمكننا القول إن ﻉ اثنين بار يساوي الجذر التربيعي لاثنين ناقص ﺕ جذر خمسة. والآن، بعد أن أوجدنا مرافقي العددين ﻉ واحد وﻉ اثنين، سنتناول الجزء الثاني من هذا السؤال.

في المطلوب الأول من الجزء الثاني لهذا السؤال، علينا إيجاد مجموع مرافقي العددين المركبين لدينا. أي علينا إيجاد مجموع خمسة زائد ﺕ جذر ثلاثة وجذر اثنين ناقص ﺕ جذر خمسة. لجمع عددين مركبين، فإننا ببساطة نجمع جزأيهما الحقيقيين معًا، ثم نجمع جزأيهما التخيليين معًا. الجزآن الحقيقيان هما خمسة والجذر التربيعي لاثنين. والجزآن التخيليان هما جذر ثلاثة وسالب جذر خمسة. إذن، يمكننا القول إن مجموع المرافقين هو خمسة زائد جذر اثنين زائد الجذر التربيعي لثلاثة ناقص الجذر التربيعي لخمسة ﺕ.

في الجزء الثاني هنا، مطلوب منا إيجاد مرافق مجموع العددين المركبين الأصليين. لذا، سنبدأ بإيجاد مجموع العددين المركبين الأصليين. مرة أخرى، يمكننا إيجاد مجموع هذين العددين المركبين عن طريق جمع جزأيهما الحقيقيين معًا، ثم جمع جزأيهما التخيليين معًا. الجزآن الحقيقيان هما خمسة والجذر التربيعي لاثنين، بينما الجزآن التخيليان هما سالب جذر ثلاثة وجذر خمسة. وعليه، فإن ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين يساوي خمسة زائد الجذر التربيعي لاثنين زائد الجذر التربيعي لخمسة ناقص الجذر التربيعي لثلاثة ﺕ.

إننا نريد الآن إيجاد مرافق مجموع العددين المركبين لدينا. وتذكر أنه يمكننا فعل ذلك عن طريق تغيير إشارة الجزء التخيلي. إذن يظل الجزء الحقيقي كما هو؛ خمسة زائد الجذر التربيعي لاثنين. ونلاحظ أن ﻉ واحد زائد ﻉ اثنين بار؛ أي مرافق مجموع العددين المركبين الأصليين، يساوي خمسة زائد جذر اثنين ناقص جذر خمسة ناقص جذر ثلاثة ﺕ. يمكننا توزيع سالب واحد على القوسين لدينا، وكتابة هذا التعبير على الصورة خمسة زائد جذر اثنين زائد الجذر التربيعي لثلاثة ناقص الجذر التربيعي لخمسة ﺕ. وبذلك، نكون قد أوجدنا مجموع المرافقين ومرافق المجموع.

وأخيرًا، دعونا نتناول ضرب العددين المركبين. سنبدأ بإيجاد حاصل ضرب المرافقين. وهذا يساوي خمسة زائد ﺕ جذر ثلاثة في جذر اثنين ناقص ﺕ جذر خمسة. يمكننا توزيع هذه الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. سنضرب الحدين الأولين، ويصبح لدينا خمسة جذر اثنين. ونضرب الحدين الخارجيين، ونحصل على سالب خمسة ﺕ جذر خمسة. وبضرب الحدين الأوسطين، نحصل على ﺕ جذر ستة. إننا نعلم أن الجذر التربيعي لثلاثة في الجذر التربيعي لاثنين هو نفسه الجذر التربيعي لثلاثة في اثنين. وبعد ذلك، نضرب الحدين الأخيرين لنحصل على سالب ﺕ تربيع جذر ١٥. لكننا نعلم أيضًا أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. ومن ثم، يصبح الحد الأخير لدينا موجب جذر ١٥. بجمع الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا، نجد أن ﻉ واحد بار في ﻉ اثنين بار يساوي خمسة جذر اثنين زائد جذر ١٥ ناقص خمسة جذر خمسة ناقص جذر ستة ﺕ.

بعد ذلك، علينا إيجاد مرافق حاصل ضرب العددين الأصليين. إذن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ﻉ واحدﻉ اثنين. وهي تساوي خمسة ناقص ﺕ جذر ثلاثة في جذر اثنين زائد ﺕ جذر خمسة. سنوزع الأقواس كما فعلنا من قبل، ونحصل بذلك على خمسة جذر اثنين زائد خمسة ﺕ جذر خمسة ناقص ﺕ جذر ستة ناقص ﺕ تربيع جذر ١٥. ومرة أخرى، يصبح الحد الأخير لدينا موجب جذر ١٥. سنكرر ما فعلناه من قبل ونجمع الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا. وبذلك، نجد أن ﻉ واحدﻉ اثنين يساوي خمسة جذر اثنين زائد جذر ١٥ زائد خمسة جذر خمسة ناقص جذر ستة ﺕ. لإيجاد مرافق حاصل الضرب هذا، علينا تغيير إشارة الجزء التخيلي. والجزء التخيلي هو خمسة جذر خمسة ناقص جذر ستة. إذن، ﻉ واحدﻉ اثنين الكل بار؛ أي مرافق حاصل ضرب العددين المركبين، يساوي خمسة جذر اثنين زائد جذر ١٥ ناقص خمسة جذر خمسة ناقص جذر ستة ﺕ.

بهذه الطريقة، نكون قد أوجدنا حاصل ضرب المرافقين ومرافق حاصل ضرب العددين المركبين، وهما متماثلان. في الواقع، يمكننا تعميم النتائج التي توصلنا إليها. ويمكننا القول إن مجموع مرافقي العددين المركبين يساوي مرافق مجموع هذين العددين. وبالمثل، حاصل ضرب مرافقي العددين المركبين يساوي مرافق حاصل ضرب هذين العددين.