فيديو: إيجاد قيمة التكامل الثنائي على منطقة مستطيلة

احسب التكامل الثنائي ∫(_−١)(^٢) ∫(_−١)(^١) ﺱ(ﺱﺹ + جا ﺱ) دﺱ‎ ‎دﺹ، مُقرِّبًا الإجابة إلى أقرب ثلاثة أرقام عشرية إذا لزم الأمر.

٠٦:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

احسب التكامل الثنائي من سالب واحد لاتنين ومن سالب واحد لواحد، للـ س في الـ س ص زائد الـ جا س، بالنسبة للـ د س، د ص. مقاربًا الإجابة إلى أقرب ثلاثة أرقام عشرية، إذا لزم الأمر.

التكامل الثنائي بنوجد فيه التكامل الداخلي ده الأول، وبعد كده نجيب التكامل الخارجي. يعني هنكامل الأول بالنسبة للـ س. وبعد كده الناتج بنعوّض فيه من حدود التكامل من سالب واحد لواحد. وبعد كده نوجد التكامل الخارجي بالنسبة للـ ص. ولمّا بنكامل بالنسبة للـ س، بنعتبر إن المتغير الآخر ده ثابت. يعني الـ ص دي هتبقى قيمة ثابتة. يبقى كأننا بنوجد التكامل ده الأول: من سالب واحد لواحد، للـ س في الـ س ص زائد الـ جا س، بالنسبة للـ س. هيساوي …

هنضرب الـ س دي في القوس ده، هتبقى س تربيع، وهنخلّي الـ ص كأنها ثابت، زائد س جا س. وهنكامل من السالب واحد للواحد، بالنسبة للـ س. هنكامل الـ ص س تربيع، بالنسبة للـ س، يبقى هتساوي ص … هنزوّد أس الـ س واحد، يبقى س تكعيب، ونقسم على الأس الجديد. وهنعوّض من سالب واحد لواحد. زائد … س جا س دول دالتين مضروبين في بعض في المتغير س، اللي بنكامل بالنسبة له. فهنتعامل معاها بإن إحنا هنكاملها بالتجزيء.

التكامل بالتجزيء، لو إحنا عندنا دالتين، س وَ جا س، فيه واحدة هنفاضلها، وواحدة بنكاملها. مثلًا هنكامل اللي مش هتنتهي، اللي هي جا س. وهنفاضل اللي هتنتهي، اللي هي الـ س. يبقى الـ س لمّا هنفاضلها هتبقى واحد، وبعدين هتبقى صفر. الـ جا س لمّا هنكاملها، هتبقى سالب جتا س. هنكاملها كمان مرة، هتبقى سالب جا س. وهنضرب الـ س في السالب جتا س، ونضرب في إشارة موجبة. وبعدين الواحد في سالب جا س، وهتبقى إشارة سالبة. ويبقى تكامل الـ س جا س د س هيساوي س في سالب جتا س. ناقص، اللي هي الإشارة دي، مضروبة في سالب جا س؛ يعني هتبقى زائد جا س. وبعدين بنعوّض بحدود التكامل اللي عندنا.

هنبسطها، يبقى سالب س جتا س، زائد جا س. هنعوّض بالقيمة دي هنا. يبقى سالب س جتا س، زائد جا س، من سالب واحد إلى واحد. يبقى التكامل هيساوي … هنعوّض، الـ ص ثابت زيّ ما هو. والـ س تكعيب؛ هنعوّض مرة بالواحد، ومرة بالسالب واحد، ونطرحهم من بعض. يبقى واحد على تلاتة ناقص … لمّا هنعوّض بالسالب واحد، يبقى سالب واحد أُس تلاتة، على التلاتة.

زائد القيمة التانية، اللي هي سالب س جتا س. هنعوّض بالواحد، يبقى سالب واحد جتا واحد زائد جا واحد. ناقص … سالب في سالب واحد، يبقى موجب واحد، في جتا سالب واحد، زائد جا سالب واحد.

هنبسّط، يبقى الـ ص مضروبة في … تُلت زائد تُلت، يبقى اتنين على تلاتة. يبقى الـ ص مضروبة في اتنين على تلاتة. زائد سالب جتا واحد، زائد جا واحد. ناقص … هنا فيه سالب، يبقى هي هيّاها الـ جتا واحد. وهنا فيه سالب، يبقى بقت سالب جا واحد. وفيه سالب برّه، يبقى موجب جا واحد.

هنجمّع، يبقى اتنين ص على تلاتة، ناقص اتنين جتا واحد، زائد اتنين جا واحد. الناتج ده هناخده ونكامله بالنسبة للـ ص، من سالب واحد إلى اتنين. لمّا هنكامل اتنين على تلاتة ص، هتبقى … اتنين على تلاتة ده ثابت زيّ ما هو. والـ ص هنزوّد الأُس واحد، تبقى ص تربيع. وهنقسم على الأس الجديد، اللي هو اتنين.

الجزء ده ثابت. لمّا هنكامله، هيتضرب في ص. وهنعوّض من سالب واحد إلى اتنين. هنختصر الاتنين مع الاتنين. يبقى التكامل هيساوي … ص تربيع لمّا هنعوّض بالاتنين، يبقى اتنين تربيع على التلاتة. ناقص اتنين جتا واحد مضروبة في الـ ص اللي قيمتها اتنين. زائد اتنين جا واحد، في الـ ص اللي قيمتها اتنين. الكلام ده كله هنطرح منه … ص تربيع لمّا هنعوّض بالسالب واحد، هتبقى تربيع على التلاتة. ناقص اتنين جتا واحد، وهنضرب في السالب واحد. زائد اتنين جا واحد، وهنضرب في السالب واحد.

بالتبسيط، والضرب بالإشارات؛ السالب في السالب تبقى موجب. يبقى أربعة على تلاتة، ناقص ستة جتا واحد، زائد ستة جا واحد، ناقص تُلت. هنستخدم الآلة الحاسبة في التقدير الدائري، يبقى قيمة التكامل هتساوي تقريبًا اتنين وتمنمية وسبعة من ألف. ويبقى هي دي قيمة التكامل المطلوبة، بالتقريب لثلاثة أرقام عشرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.