فيديو السؤال: إيجاد المعادلة البارامترية لخط مستقيم يمر بنقطتين في مكعب الرياضيات

يوضح الشكل مكعبًا طول ضلعه ‪6‬‏. النقطة ‪𝑀‬‏ هي نقطة منتصف ‪𝐴𝐵‬‏. أي من الآتي يعد المعادلات البارامترية لـ ‪𝑂𝑀‬‏؟ (أ) ‪𝑥 = 6𝑡‬‏، ‪𝑦 = 3𝑡‬‏، ‪𝑧 = 3𝑡‬‏ (ب) ‪𝑥 = 6𝑡‬‏، ‪𝑦 = 6 − 6𝑡‬‏، ‪𝑧 = 3 − 3𝑡‬‏ (ج) ‪𝑥 = 6𝑡‬‏، ‪𝑦 = 6𝑡‬‏، ‪𝑧 = 3𝑡‬‏ (د) ‪𝑥 = 3𝑡‬‏، ‪𝑦 = 3𝑡‬‏، ‪𝑧 = 6𝑡‬‏ (ﻫ) ‪𝑥 = 6 − 6𝑡‬‏، ‪𝑦 = 6 − 6𝑡‬‏، ‪𝑧 = 3𝑡‬‏.

٠٥:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل مكعبًا طول ضلعه ستة. النقطة ‪𝑀‬‏ هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. أي من الآتي يعد المعادلات البارامترية للخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏؟ ‏ (أ) ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏. ‏ (ب) ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ناقص ستة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة ‪𝑡‬‏. ‏(ج) ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏. ‏ (د) ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏. ‏ (هـ) ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ناقص ستة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ناقص ستة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏.

حسنًا، في هذا السؤال لدينا معطيات خاصة بمكعب طول ضلعه ستة. علمنا أن النقطة ‪𝑀‬‏ هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. ومطلوب منا إيجاد المعادلات البارامترية للخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏.

لعلنا نتذكر أن المعادلات البارامترية لأي خط مستقيم هي مجموعة غير وحيدة مكونة من ثلاث معادلات تكتب على الصورة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ صفرًا زائد ‪𝑡𝑙‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ صفرًا زائد ‪𝑡𝑚‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑧‬‏ صفرًا زائد ‪𝑡𝑛‬‏؛ حيث تقع النقطة التي إحداثياتها ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر، ‪𝑧‬‏ صفر على الخط المستقيم. ‏‪𝑙‏‬‏، ‪𝑚‏‬‏، ‪𝑛‬‏ هو متجه اتجاه الخط المستقيم، و‪𝑡‬‏ هو عدد حقيقي يعرف بالبارامتر ويتغير من سالب ‪∞‬‏ إلى ‪∞‬‏.

نحن نعلم أن إحداثيات نقطة الأصل هي صفر، صفر، صفر. وبما أن هذه النقطة تقع على الخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏، فيمكننا أن نجعل كلًّا من ‪𝑥‬‏ صفر و‪𝑦‬‏ صفر و‪𝑧‬‏ صفر يساوي صفرًا. لإيجاد متجه اتجاه هذا الخط، علينا أولًا إيجاد إحداثيات النقطة ‪𝑀‬‏. إحداثيات النقطة ‪𝐴‬‏ هي ستة، ستة، ستة. وإحداثيات النقطة ‪𝐵‬‏ هي ستة، ستة، صفر.

وبما أن ‪𝑀‬‏ هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏، فيمكننا حساب إحداثياتها بإيجاد متوسط الإحداثيات المناظرة لكل من ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. متوسط ستة وستة هو ستة، ومتوسط ستة وصفر هو ثلاثة. إذن، إحداثيات النقطة ‪𝑀‬‏ هي ستة، ستة، ثلاثة. يمكننا الآن إيجاد متجه اتجاه الخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها فعل ذلك هي طرح متجه الموضع لإحدى النقطتين من متجه موضع الأخرى. ويمكننا فعل ذلك بأي ترتيب نريده. في هذا السؤال، سنطرح المتجه صفرًا، صفرًا، صفرًا من المتجه ستة، ستة، ثلاثة. وبهذا، نجد أن أحد متجهات الاتجاه للخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏ يساوي ستة، ستة، ثلاثة. وهذه هي قيم ‪𝑙‬‏ و‪𝑚‬‏ و‪𝑛‬‏ التي سنعوض بها في الصورة العامة.

يمكننا استخدام النقطة ‪𝑂‬‏ أو النقطة ‪𝑀‬‏ للتعويض عن ‪𝑥‬‏ صفر، ‪𝑦‬‏ صفر، ‪𝑧‬‏ صفر؛ حيث إن كلًّا من هاتين النقطتين يقع على الخط المستقيم. وبما أننا نبحث عن حل محدد يتوافق مع أحد الخيارات لدينا، فسنستخدم نقطة الأصل. بالتعويض بقيمتي ‪𝑥‬‏ صفر و‪𝑙‬‏ في الصورة العامة، نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا زائد ستة ‪𝑡‬‏. ويمكن تبسيط ذلك إلى ستة ‪𝑡‬‏. وبالمثل، لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا زائد ستة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي صفرًا زائد ثلاثة ‪𝑡‬‏.

بتبسيط المعادلات لدينا، نلاحظ أنها تتوافق مع المعادلات الواردة في الخيار (ج). إذن، من بين الخيارات المعطاة، المعادلات البارامترية للخط المستقيم ‪𝑂𝑀‬‏ هي ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ‪𝑡‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏. وكما ذكرنا من قبل، هناك العديد من المجموعات الأخرى من المعادلات البارامترية التي كان يمكننا اختيارها بناء على المعطيات الموجودة في هذا السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.