فيديو: حل معادلة مصفوفات بإيجاد معكوس المصفوفة

أوجد حلّ (١، −١، −١ و١، ١، −١ و١، ١، ٠)(س و ص و ع) = (٩ و−١١ و٦) باستخدام معكوس المصفوفة.

٠٧:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد حلّ المصفوفة: واحد، سالب واحد، سالب واحد. واحد، واحد، سالب واحد. واحد، واحد، صفر. في المصفوفة: س ص ع. يساوي المصفوفة: تسعة، سالب أحد عشر، ستة. باستخدام معكوس المصفوفة.

بالنظر للمثال، هنلاقي معادلة المصفوفات بتتكوّن من مصفوفة معامِلات، ومصفوفة متغيّرات، ومصفوفة ثوابت. فعشان نوجد قيم س، وَ ص، وَ ع في مصفوفة المتغيّرات، هنضرب معكوس مصفوفة المعامِلات في مصفوفة الثوابت. عشان نوجد معكوس مصفوفة، بنستخدم المصفوفة الموسّعة؛ اللي بتتكوّن من مصفوفة المعامِلات، مع مصفوفة الوحدة من نفس النظم. بشرط إن مصفوفة المعامِلات تكون مصفوفة مربّعة.

المصفوفة المربّعة بتكون مصفوفة بيتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة. وبالنظر لمصفوفة المعامِلات، هنلاقيها مصفوفة مربّعة؛ على النظم تلاتة في تلاتة. يعني فيها تلات صفوف، وتلات أعمدة. فهنكتب المصفوفة الموسّعة بالشكل ده.

بعد كده هنستخدم طريقة جاوس جوردان للحذف؛ عشان نخلّي الجزء الأيمن من المصفوفة الموسّعة، اللي هو مصفوفة المعامِلات، يوصل إلى شكل مصفوفة الوحدة. وفي الحالة دي الجزء الأيسر من المصفوفة، هيكون هو معكوس مصفوفة المعامِلات. هنبدأ الخطوات بإننا نطرح عناصر الصف الأول من عناصر الصف التاني.

فالمصفوفة هتبقى؛ عناصر الصف الأول هتفضل زيّ ما هي. بعد كده عناصر الصف التاني، هنحسب الفرق بين كل عنصر في الصف التاني، وكل عنصر مناظر ليه في الصف الأول. فبالنسبة للعنصر الأول في الصف التاني هيساوي بعد التعديل واحد ناقص واحد، يعني هيساوي صفر. وبالنسبة للعنصر التاني في الصف التاني، هيبقى واحد ناقص سالب واحد، يعني هيساوي اتنين.

وبالنسبة للعنصر التالت، هيبقى سالب واحد ناقص سالب واحد، يعني هيساوي صفر. وبالنسبة للعنصر الرابع، هيبقى صفر ناقص واحد، يعني هيساوي سالب واحد. وبالنسبة للعنصر الخامس، هيبقى واحد ناقص صفر، يعني هيساووا واحد. وبالنسبة للعنصر السادس، هيبقى صفر ناقص صفر، يعني هيساوي صفر. وبالنسبة للصف التالت برضو هيفضل زيّ ما هو.

بعد كده نطرح عناصر الصف الأول من عناصر الصف التالت. فالمصفوفة هتبقى؛ الصف الأول هيفضل زيّ ما هو بدون أيّ تغيير. الصف التاني برضو هيفضل زيّ ما هو بدون أيّ تغيير. بالنسبة للصف التالت، هنوجد الفرق بين أول عنصر في الصف التالت، وأول عنصر في الصف الأول. فهيبقى واحد ناقص واحد، يعني هيساووا صفر. بعد كده بالنسبة للعنصر التاني، هيبقى واحد ناقص سالب واحد، يعني هيساوي اتنين. بالنسبة للعنصر التالت، هيبقى صفر ناقص سالب واحد، يعني هيساووا واحد. بالنسبة للعنصر الرابع، هيبقى صفر ناقص واحد، يعني هيساوي سالب واحد. بالنسبة للعنصر الخامس، هيبقى صفر ناقص صفر، يعني هيساوي صفر. وبالنسبة للعنصر السادس، هيبقى واحد ناقص صفر، يعني هيساووا واحد.

نكمّل الخطوات بنفس الطريقة، لحدّ ما يبقى النصف الأيمن من المصفوفة جميع عناصره بتساوي صفر، ما عدا عناصر القطر؛ فهي هتساوي واحد. يعني تبقى على صورة مصفوفة الوحدة. فبعد إجراء الخطوات، المصفوفة هتبقى بالصورة دي. وفي الحالة دي هيبقى معكوس مصفوفة المعامِلات، هو الجزء الأيسر من المصفوفة الموسّعة. بعد كده نضرب معكوس مصفوفة المعامِلات في مصفوفة الثوابت، والناتج هيساوي مصفوفة المتغيّرات.

يبقى ممكن نقول إن مصفوفة المتغيّرات بتساوي معكوس مصفوفة المعامِلات مضروب في مصفوفة الثوابت. وعشان نتأكد من إمكانية إجراء عملية الضرب، هنشوف نظم المصفوفة الأولى، فهنلاقيه تلاتة في تلاتة. ونشوف نظم المصفوفة التانية، هنلاقيه تلاتة في واحد. وبما إن عدد أعمدة المصفوفة الأولى بيساوي عدد صفوف المصفوفة التانية، فبالتالي من الممكن إجراء عملية الضرب. والناتج في الحالة دي هيبقى مصفوفة من النظم تلاتة في واحد.

عشان نوجد حاصل ضرب المصفوفتين، اللي بيتكوّن من تلات عناصر. هيبقى العنصر الأول بيساوي مجموع حاصل ضرب العنصر الأول، في الصف الأول، في المصفوفة الأولى؛ في العنصر الأول، في الصف التاني [الأول]‎، في المصفوفة التانية. زائد العنصر التاني، في الصف الأول، في المصفوفة الأولى؛ في العنصر الأول، في الصف التاني، في المصفوفة التانية. زائد العنصر التالت، في الصف الأول، في المصفوفة الأولى؛ في العنصر الأول، في الصف التالت، في المصفوفة التانية.

يعني هيساوي واحد على اتنين مضروب في تسعة. زائد سالب واحد على اتنين مضروب في سالب حداشر. زائد واحد مضروب في ستة. نكرّر عملية الضرب بنفس الطريقة بالنسبة للعنصرين التاني والتالت، فالناتج هيبقى بالصورة دي. وبإجراء العمليات، مصفوفة الناتج هتبقى بالصورة: ستاشر، سالب عشرة، سبعتاشر. وبما إن المصفوفة في الناتج بتساوي مصفوفة المتغيّرات، فنقدر نقول إن س بتساوي ستاشر، وَ ص بتساوي سالب عشرة، وَ ع بتساوي سبعتاشر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.