فيديو: حل معادلة مصفوفية بإيجاد معكوس المصفوفة

أوجد الحل ‪(1, −1, −1; 1, 1, −1; 1, 1, 0) (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (9; −11; 6)‬‏ باستخدام معكوس المصفوفة.

٠٥:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الحل باستخدام معكوس المصفوفة.

لنتذكر الرموز: ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝑛‬‏ الذي هو حرف صغير لأنه متجه، يساوي ‪𝑏‬‏. لإيجاد قيم كل من ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ و‪𝑧‬‏، وهي عناصر المتجه الذي سميناه ‪𝑛‬‏، علينا أولًا إيجاد معكوس ‪𝐴‬‏. تذكر أن معكوس ‪𝐴‬‏ مضروبًا في ‪𝐴‬‏ يساوي مصفوفة الوحدة. لذا إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في معكوس ‪𝐴‬‏، فسنحصل على الحل: ‪𝑛‬‏ يساوي معكوس ‪𝐴‬‏ في ‪𝑏‬‏.

ملاحظة سريعة: الترتيب مهم. لن ينجح الأمر إذا ضربنا ‪𝑏‬‏ في معكوس ‪𝐴‬‏، لأن عدد الأعمدة في ‪𝑏‬‏ لا يساوي عدد الصفوف في ‪𝐴‬‏. ولإيجاد معكوس ‪𝐴‬‏، علينا اتباع بعض الخطوات المعقدة.

الخطوة الأولى هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. والخطوة الثانية هي تدوير عناصر المصفوفة لإيجاد المصفوفة المرافقة. والخطوة الثالثة هي الضرب في واحد على محدد المصفوفة ‪𝐴‬‏.

الخطوة الأولى هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. هذه هي الصيغة التي علينا استخدامها لمساعدتنا في إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. وهناك طريقة جيدة لتذكر الطريقة، وهي أن نخبئ الصف والعمود الذي ننظر إليه، ونوجد محدد المصفوفة المتبقية. ويمكنك بعد ذلك إضافة الإشارة المناسبة لهذا العدد وتغيير الإشارات أثناء الحل.

الصف الأول: موجب، سالب، موجب، والصف الثاني: سالب، موجب، سالب، والصف الثالث: موجب، سالب، موجب. كل العناصر ذات الإشارة السالبة، عليك أن تضربها في سالب واحد، أي أن تغير إشارة العدد.

أما الخطوة التالية فهي خطوة مباشرة أكثر: إيجاد محدد كل من هذه العناصر. للقيام بذلك، نضرب العنصر العلوي الأيسر في العنصر السفلي الأيمن، ثم نطرح حاصل ضرب العنصر العلوي الأيمن في العنصر السفلي الأيسر. العنصر الأول في مصفوفة العوامل المرافقة إذن هو واحد. ويجب أن يظل موجبًا وفقًا للصيغة المستخدمة.

لإيجاد محدد العنصر الثاني في الصف الأول، نضرب واحدًا في صفر ناقص سالب واحد في واحد. ولإيجاد محدد العنصر الثالث في الصف الأول، نحسب حاصل ضرب واحد في واحد ناقص حاصل ضرب واحد في واحد، ما يساوي صفرًا. العنصر الثالث هو صفر.

فلنكرر هذه العملية للعناصر المتبقية. يمكن حساب محدد المصفوفة في الصف الثاني والعمود الأول عن طريق حساب حاصل ضرب سالب واحد في صفر ناقص حاصل ضرب سالب واحد في واحد، ما يساوي واحدًا. وفي المصفوفة لدينا، يضرب هذا في سالب واحد، ليصبح سالب واحد. واحد مضروبًا في صفر ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد يساوي واحدًا، وواحد مضروبًا في واحد ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد يساوي اثنين. ومن ثم فإن العنصر الأخير في الصف الثاني هو سالب اثنين.

محدد المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين في الصف الثالث والعمود الأخير يساوي سالب واحد مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد، ويساوي اثنين. واحد مضروبًا في سالب واحد ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد يساوي صفرًا. وأخيرًا، واحد مضروبًا في واحد ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد يساوي اثنين. بذلك نكون قد انتهينا من الخطوة الأولى. وهو الجزء الأكثر استهلاكًا للوقت.

الخطوة الثانية هي إيجاد المصفوفة المرافقة لمصفوفة العوامل المرافقة. هذا يعني تدوير الصفوف والأعمدة حول هذا الخط القطري، أو عكسها. ومن ثم تظل العناصر الواقعة على هذا الخط القطري كما هي. نبدل سالب واحد بسالب واحد، فلا يتغير شيء تقريبًا. ونبدل الصفر مع الاثنين، وأخيرًا نبدل الصفر مع سالب اثنين.

والخطوة الأخيرة هي ضرب هذه المصفوفة المرافقة في واحد على محدد ‪𝐴‬‏، أي محدد المصفوفة الأصلية ذات الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لحساب هذا المحدد، نضرب كلًا من العناصر التي في الصف العلوي في العوامل المرافقة المناظرة لها. وهذه العوامل هي محددات مصفوفاتها الصغيرة التي أوجدناها سابقًا. إذن واحد مضروبًا في واحد، ناقص سالب واحد مضروبًا في واحد، زائد سالب واحد مضروبًا في صفر، ما يساوي اثنين.

وأخيرًا، علينا ضرب المصفوفة المرافقة في واحد على المحدد، أو نصف. إذن يصبح معكوس ‪𝐴‬‏ كما هو موضح أمامنا. والآن، تذكر أننا قلنا إنه لحل نظام المعادلات الخطية هذا، نضرب ‪𝑏‬‏ في معكوس ‪𝐴‬‏. وما علينا فعله الآن هو ضرب المصفوفات.

‏‏‪𝑥‬‏ يساوي نصفًا في تسعة، زائد سالب نصف في سالب ‪11‬‏، زائد واحد في ستة، ويساوي ‪16‬‏. ‏‏‪𝑦‬‏ يساوي سالب نصف في تسعة، زائد نصف في سالب ‪11‬‏، زائد صفر في ستة، ويساوي سالب ‪10‬‏. و‪𝑧‬‏ يساوي صفرًا في تسعة، زائد سالب واحد في سالب ‪11‬‏، زائد واحد في ستة، ويساوي ‪17‬‏.

الحل إذن هو ‪𝑥‬‏ يساوي ‪16‬‏، و‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪10‬‏، و‪𝑧‬‏ يساوي ‪17‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.