فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة تربيعية الرياضيات

أوجد المشتقة العكسية العامة ﻕ(ﺱ) للدالة ﺩ(ﺱ) = (ﺱ − ٣)^٢.

٠٥:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة العكسية العامة ﻕﺱ للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع.

لدينا في السؤال الدالة ﺩﺱ. والمطلوب منا هو إيجاد المشتقة العكسية العامة لهذه الدالة. سنرمز لهذه المشتقة بـ ﻕﺱ. وتذكر أن المشتقة العكسية تعني أنه عند اشتقاق ذلك، فإننا نحصل على الدالة الأصلية مرة أخرى. بعبارة أخرى، نريد أن ﻕ بـ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ. وتذكر أنه بما أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا، فيمكننا إضافة أي ثابت نريده إلى المشتقة العكسية. وستظل تلك المشتقة تمثل مشتقة عكسية للدالة ﺩﺱ.

لذا، سنضيف الثابت ﺙ إلى تلك المشتقة العكسية. تعرف هذه الصورة باسم المشتقة العكسية العامة؛ لأنها تمثل جميع المشتقات العكسية للدالة. لنبدأ إذن بإيجاد المشتقة العكسية. دعونا نبدأ بالنظر إلى الدالة ﺩﺱ. يمكننا ملاحظة أنها تساوي ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع. وهذا يمثل مشكلة؛ لأن هذا عبارة عن تركيب دالتين. وذلك قد يزيد من صعوبة إيجاد المشتقات العكسية. لكن بدلًا من ذلك، هيا نبسط هذه الدالة عن طريق توزيع التربيع على القوس. سنوزع التربيع باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. وسنبدأ بضرب الحد الأول من كل عامل معًا. هذا يعطينا ﺱ في ﺱ، وهو ما يساوي ﺱ تربيع.

بعد ذلك، نضرب الحدين الخارجيين معًا. هذا يعطينا ﺱ مضروبًا في سالب ثلاثة؛ أي سالب ثلاثة ﺱ. والآن، نريد ضرب الحدين الداخليين معًا. مرة أخرى، هذا يساوي سالب ثلاثة في ﺱ؛ أي سالب ثلاثة ﺱ. وأخيرًا، نريد ضرب الحد الأخير لكل عامل معًا. هذا يعطينا سالب ثلاثة في سالب ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. ويمكننا تبسيط ذلك؛ حيث سالب ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي سالب ستة ﺱ.

إذن، نلاحظ الآن أن الدالة ﺩﺱ هي دالة كثيرة الحدود. ونحن نعرف كيفية إيجاد المشتقة العكسية لكل حد في كثيرة الحدود كل على حدة. نعلم أنه لإيجاد المشتقة العكسية لـ ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ، علينا أن نضيف واحدًا إلى أس ﺱ ثم نقسم على هذا الأس الجديد لـ ﺱ. وهذا يعطينا ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد. وفي الصورة العامة، سنضيف ثابت التكامل ﺙ. سنحتاج إلى أن نفعل ذلك مع كل حد على حدة. دعونا نبدأ بـ ﺱ تربيع. لإيجاد المشتقة العكسية لـ ﺱ تربيع، يمكننا إضافة واحد إلى الأس اثنين. هذا يعطينا أسًّا جديدًا وهو ثلاثة. تذكر أن علينا القسمة بعد ذلك على هذا الأس الجديد. وهذا يعطينا ﺱ تكعيب على ثلاثة.

نريد الآن إيجاد المشتقة العكسية للحد الثاني، وهو سالب ستة ﺱ. إحدى طرق إجراء ذلك هي إعادة كتابة الحد الثاني على صورة سالب ستة في ﺱ أس واحد. مرة أخرى، نريد إضافة واحد إلى أس ﺱ. هذه المرة يساوي واحدًا. وهكذا، نحصل على اثنين، ثم نقسم الحد على اثنين. ومن ثم، يصبح لدينا سالب ستة ﺱ تربيع مقسومًا على اثنين. ونعرف أن ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. إذن، فقد أوضحنا بذلك أن سالب ثلاثة ﺱ تربيع مشتقة عكسية لسالب ستة ﺱ. وأخيرًا، نريد إيجاد المشتقة العكسية للحد الثالث، وهو تسعة. قد نميل إلى كتابة ذلك على صورة تسعة في ﺱ أس صفر.

ولكن توجد طريقة أسهل لإيجاد المشتقة العكسية في هذه الحالة. نعرف أنه بالنسبة إلى أي ثابت ﻙ، فإن مشتقة ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙ فقط. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى أي ثابت ﻙ، فإن ﻙﺱ مشتقة عكسية لـ ﻙ. وعليه، عند ﻙ يساوي تسعة، نجد أن تسعة ﺱ مشتقة عكسية لتسعة. إذن، لإيجاد المشتقة العكسية لأي ثابت، علينا فقط ضرب هذا الثابت في ﺱ.

ومع ذلك، تذكر أن هذه مشتقة عكسية محتملة واحدة فقط للدالة ﺩﺱ. لكن إذا أضفنا أي ثابت إلى تلك المشتقة، فإن مشتقة هذا الثابت تساوي صفرًا. ومن ثم، تظل هذه مشتقة عكسية للدالة. لذا، سنضيف ثابتًا نرمز له بالرمز ﺙ إلى هذه الدالة. وهذا يمثل كل المشتقات العكسية المحتملة. وقد كانت هذه هي طريقة إيجاد المشتقة العكسية العامة.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أنه يمكن الحصول على المشتقة العكسية العامة ﻕﺱ للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع من خلال الدالة ﻕﺱ تساوي ﺱ تكعيب على ثلاثة ناقص ثلاثة ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.