فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بمعادلات معطاة للبارامتر الرياضيات

أوجد ﺩﺹ‏/‏ﺩﺱ عند ﻥ = ٠، علمًا بأن ﺱ = (ﻥ − ٢)(٤ﻥ + ٣)، ﺹ = (٣ﻥ^٢ − ٤)(ﻥ − ٣).

٠٣:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﻥ يساوي صفرًا، علمًا بأن ﺱ يساوي ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في أربعة ﻥ زائد ثلاثة، وﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ﻥ ناقص ثلاثة.

في هذا السؤال، لدينا معادلة بارامترية فيها الإحداثيان ﺱ وﺹ معطيان بدلالة ﻥ. نتذكر أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. ويمكن كتابة ذلك أيضًا على الصورة: ﺩﺹ على ﺩﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ؛ حيث ﺩﻥ على ﺩﺱ هو مقلوب ﺩﺱ على ﺩﻥ. لنبدأ بالإحداثي ﺱ، وهو يساوي ﻥ ناقص اثنين مضروبًا في أربعة ﻥ زائد ثلاثة. يمكننا توزيع القوسين باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني.

بضرب الحدين الأولين، نحصل على أربعة ﻥ تربيع، وبضرب الحدين الخارجيين، نحصل على ثلاثة ﻥ، وبضرب الحدين الداخليين، نحصل على سالب ثمانية ﻥ. وبضرب الحدين الأخيرين، نحصل على سالب ستة. يمكن تبسيط ذلك ليصبح ﺱ يساوي أربعة ﻥ تربيع ناقص خمسة ﻥ ناقص ستة. ويمكننا التوصل إلى تعبير لإيجاد قيمة ﺩﺱ على ﺩﻥ من خلال اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ﻥ حدًا تلو الآخر. عند اشتقاق الحد أربعة ﻥ تربيع، نحصل على ثمانية ﻥ، وعند اشتقاق الحد سالب خمسة ﻥ، نحصل على سالب خمسة، وعند اشتقاق أي ثابت، نحصل على صفر. إذن، ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ثمانية ﻥ ناقص خمسة.

يمكننا تكرار هذه العملية مع الإحداثي ﺹ. نحن نعلم أن ﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في ﻥ ناقص ثلاثة. وبتوزيع القوسين، نحصل على ﺹ يساوي ثلاثة ﻥ تكعيب ناقص تسعة ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد ١٢. مرة أخرى، يمكننا اشتقاق ذلك حدًا تلو الآخر بالنسبة إلى ﻥ‏. ﺩﺹ على ﺩﻥ يساوي تسعة ﻥ تربيع ناقص ١٨ﻥ ناقص أربعة.

بما أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ، فإن هذا يساوي تسعة ﻥ تربيع ناقص ١٨ﻥ ناقص أربعة مقسومًا على ثمانية ﻥ ناقص خمسة. علينا إيجاد قيمة ذلك عند ﻥ يساوي صفرًا. الحدود تسعة ﻥ تربيع، و١٨ﻥ، وثمانية ﻥ جميعها تساوي صفرًا. هذا يعني أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب أربعة على سالب خمسة. عند قسمة عدد سالب على عدد سالب، نحصل على ناتج موجب. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة أخماس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.